附录源文件：README.md

从线性代数到大模型

一门为「想真正读懂大模型」的人重写的课：从线性代数开始，一路讲到大模型底层。不从行列式开始，而从「一句话怎么变成一串数字、又怎么变成另一串数字」开始。

仓库：kingfs/Linear-Algebra-to-LLM ｜ 在线站点：https://kingfs.github.io/Linear-Algebra-to-LLM/

一句话简介：用几何直觉 + 场景化例子，把线性代数从「考试公式」还原成「描述高维世界的语言」，并一路讲到 Attention、LoRA、KV Cache、量化背后的矩阵运算。

规模：13 个模块 · 81 篇概念文档 · 13 组习题 · 12 个可运行 lab · 2 份速查表 · 358 道可判分题 · 16 张生成图。

Web 学习平台（新增）

除了读 Markdown，现在还可以在浏览器里学习、做题、翻卡和看生成图：

阅读：81 篇概念页，带目录、上下篇、KaTeX 公式、Mermaid 图、Python 生成的 SVG 图，以及可跳转的「参考文献与致谢」。
练习：358 道单选/多选/判断/数值题，即时判分、解析回链原文、错题本。
复习：「一页速记」自动转成 479 张知识卡，按间隔重复排期。
进度：阅读、正确率、薄弱概念、到期卡片，全部存在本机 IndexedDB，无需登录。

cd web
pnpm install
pnpm dev --port 4321
# 打开 http://127.0.0.1:4321/

详细说明见 web/README.md，题库规范见 quizbank/README.md，图脚本见 figures/，入口是 figures/manifest.yaml。

这门课为谁而写

你已经会用大模型（调 API、写 prompt），但看到 QK^T / sqrt(d_k)、W_Q、rank、SVD 时心里发虚。
你学过线性代数，但只记得「行列式展开」和「求逆」，不知道这些概念在模型里对应什么。
你想以后研究推理过程、模型内部表示、训练稳定性，需要一套能支撑底层阅读的数学地基。
你希望有人把「为什么这样定义」讲清楚，而不是甩给你一页定理。

前置要求：初中数学 + 一点点编程意识即可。我们不假设你记得任何线性代数。

你将获得什么

一套完整的概念地图：从向量、空间、矩阵、方程组，到特征值、SVD、二次型、数值稳定性，再到微积分/概率接口。
每个概念的四个层次：现实对应与直觉 → 定义动机（含反事实反例）→ 手算例子与场景闭环 → 大模型落点。
可运行的实验：labs/ 里的 NumPy 代码，亲手验证「点积衡量相似度」「SVD 做低秩近似」「attention 的形状」。
一套可复习的速查体系：公式卡、符号表、术语中英对照、一页速记。
可追溯的出处：每篇文末列出 2–5 条原始论文或权威整理，正文中的人名、定理名可点击跳到对应文献。
一条可持续的研究路线：最后一章告诉你，线性代数之后该补什么，才能读懂 Transformer 推理。

课程地图

flowchart LR M00[00 准备
数学语言] --> M01[01 向量与几何] M01 --> M02[02 向量空间] M02 --> M03[03 矩阵与线性映射] M03 --> M04[04 线性方程组] M03 --> M05[05 行列式] M04 --> M06[06 特征值] M05 --> M06 M06 --> M07[07 SVD] M03 --> M08[08 微积分与优化] M06 --> M08 M07 --> M09[09 概率与统计] M08 --> M09 M09 --> M10[10 数值线性代数] M07 --> M11[11 大模型专题] M10 --> M11 M11 --> M12[12 进阶与全景]

模块	主题	核心问题	大模型落点
M00	准备	数学符号怎么读？张量的「轴」是什么？	形状 `[B, T, D]`
M01	向量与几何	如何用数字表示「方向」和「相似」？	embedding、余弦相似度
M02	向量空间	什么是维度、基、秩？为什么「无关」重要？	表示空间、低秩结构
M03	矩阵与线性映射	矩阵为什么是「函数」？乘法为什么那样定义？	线性层、权重矩阵
M04	线性方程组	解什么时候存在、唯一？无解怎么办？	最小二乘、微调
M05	行列式	行列式到底在量什么？	变量替换、归一化流
M06	特征值	变换中哪些方向「不变」？	稳定性、幂迭代
M07	SVD	任意矩阵能否拆成「旋转-拉伸-旋转」？	LoRA、压缩、伪逆
M08	微积分与优化	梯度、Jacobian、Hessian 如何连接？	反向传播、训练
M09	概率与统计	数据云的形状如何用矩阵描述？	协方差、PCA、采样
M10	数值线性代数	为什么数学上可逆、计算机里会炸？	精度、显存、GEMM
M11	大模型专题	把前面所有概念串成一次 forward	Attention、RoPE、量化
M12	进阶与全景	下一步读什么、研究什么？	推理研究路线

详细到每一节的清单见 curriculum/syllabus.md，依赖关系与三种学习路线见 docs/学习地图.md。

三种学习路线

路线 A：四周速成（先能读懂模型代码）

M00 → M01 → M02（2.1–2.6）→ M03 → M07（7.1–7.3）→ M11

适合：马上要读 Transformer 实现、需要补形状与矩阵运算直觉的人。代价：跳过行列式、Jordan、数值分析细节。

路线 B：十周完整（推荐）

M00 → M01 → M02 → M03 → M04 → M05 → M06 → M07 → M08 → M09 → M10 → M11 → M12

适合：希望建立完整地基、之后做推理/训练研究的人。每周 6–8 小时，配合习题与 lab。

路线 C：研究者加餐

在路线 B 之上，重点加读：6.4 谱定理、7.3 低秩近似、8.5 矩阵求导、9.3 PCA、10.2 条件数、11.3–11.8、12.2 随机矩阵。

怎么用这个仓库

先建立尺度感：翻一遍 docs/概念-现实对应表.md，看每个概念在现实中对应什么、量级多大、类比在哪里失效。
按模块读：每个模块先读 README.md（导览 + 概念地图 + 自测），再按编号读概念文档。
每篇都动手：文档里的手算例子请遮住答案自己算一遍；## 9. 练习 做完再看折叠答案。
跑实验：cd labs && python3 -m venv .venv && . .venv/bin/activate && pip install -r requirements.txt，然后按 lab 编号运行。
复习用速查：cheatsheets/ 里的公式卡与术语表。
卡住时：回到「概念网络」小节看前置；仍不懂就在该篇的练习区记录问题（本地笔记），不要跳过硬啃。

仓库结构

├── AGENTS.md          # agent/贡献者协作规范（写作模板、检查、提交）
├── PROGRESS.md        # 模块进度与任务队列
├── docs/              # 学习地图、符号表、概念-现实对应表、叙事增强规范、图示规划
├── curriculum/        # 完整大纲、周计划
├── 00-准备/ … 12-进阶/ # 课程正文（每篇一个概念）
├── exercises/         # 每模块习题 + 答案
├── labs/              # NumPy 实验
├── cheatsheets/       # 速查卡
└── scripts/check.py   # 质量门禁；check_refs.py 核对文献与锚点

阅读约定

符号：向量 $x$ 、矩阵 $A$ 、转置 $A^{⊤}$ 、范数 $∥ x ∥_{2}$ 。完整表见 docs/符号表.md。
形状：[m, n] 表示 $m$ 行 $n$ 列；大模型里 [B, T, D] = batch × 序列长度 × 隐藏维度。
索引：数学从 1 开始，代码从 0 开始，文中会明确标注。
难度标记：核心（必读）、进阶（研究需要）、选学（兴趣扩展）。

当前进度

课程已完整建成：13 个模块、81 篇概念文档、13 组习题、12 个 lab。全仓通过：

python3 scripts/check.py        # 81 篇概念文档：0 error / 0 warning
python3 scripts/check_refs.py    # 81 篇文献与页内锚点：0 error
python3 scripts/check_links.py  # 135 个 Markdown：0 断链

逐模块状态与变更记录见 PROGRESS.md。

给协作者 / Agent

先读 AGENTS.md，再运行：

python3 scripts/check.py
python3 scripts/check_refs.py
python3 scripts/check_links.py

所有概念文档遵循统一模板与十二节结构（0–11，含「参考文献与致谢」）；新增内容必须通过三个检查后再提交。叙事增强（现场 / 现实对应 / 反事实 / 场景闭环）的细则见 docs/叙事增强规范.md；哪些内容该配图、怎么新增一张图，见 docs/图示规划.md。

许可证

本项目（代码与课程文字）采用 MIT License 发布：可以自由使用、修改、分发，保留版权与许可声明即可。