M03 · 矩阵与线性映射核心约 45 分钟

3.7 四个基本子空间与秩-零化度定理

本节位置：模块 3 · 矩阵与线性映射｜前置：2.6 秩、3.6 ｜预计：45 分钟

一句话：一个 $m \times n$ 矩阵把输入空间切成「被保留」与「被压掉」两半，把输出空间切成「够得着」与「够不着」两半——这就是四个基本子空间。

0. 场景引入

一家量化基金的风控台，每晚跑一次因子风险模型。

股票池 500 只，因子 8 个（价值、成长、动量、波动、规模、质量、红利、行业中性化后的大盘）。因子暴露矩阵 $B \in R^{500 \times 8}$ ， $B_{ij}$ 是第 $i$ 只股票在第 $j$ 个因子上的暴露。组合权重 $w \in R^{500}$ ， $\sum_{i} w_{i} = 1$ 。组合规模 20 亿元。

组合的因子暴露是 $β = B^{⊤} w \in R^{8}$ 。风控要求把它压到目标附近：价值 $+ 0.30$ 、动量 $- 0.20$ 、其余接近 0。

问题出在第 8 个因子上——它被构造成「0.6 倍价值 + 0.4 倍成长」的线性组合，精确共线。于是 $rank (B) = 7$ ，不是 8。

后果：解 $Δ w$ 使 $B^{⊤} Δ w = Δ β$ 时， $B^{⊤} B$ 奇异，直接求逆会炸出 $\pm 1 0^{4}$ 量级的权重——一只股票被要求配 10000% 的仓位，交易系统拒单。

更隐蔽的后果：如果代码用一个极小的正则项把逆「救」回来，权重看着正常了，但风控报告会说「8 个因子全部中性」，而实际上它在那个共线方向上押了一大笔——这个方向模型根本看不见。

问题：一个 $500 \times 8$ 、秩为 7 的矩阵，它的四个子空间分别是什么？秩比因子数少 1，到底丢了什么？

读完本节，你应该能回答三件事：

四个子空间的定义、维数与两组正交关系；
秩-零化度定理为什么是 $r + (n - r) = n$ ，而不是 $r + (n - r) = m$ ；
为什么「有解」看列空间、「唯一」看零空间，秩亏时风控该盯哪个空间。

1. 直觉

1.1 一栋有四个房间的房子

把矩阵想成一栋有四个房间的房子：

flowchart LR subgraph IN["输入空间 R^n"] RS["行空间
dim = r"] NS["零空间
dim = n − r"] end subgraph OUT["输出空间 R^m"] CS["列空间
dim = r"] LNS["左零空间
dim = m − r"] end RS -->|A| CS NS -->|A| Z(("0")) LNS -.->|与列空间正交| CS

注意：零空间整体被送到 $0$ ；左零空间不是任何输入的像，而是与列空间正交的输出方向。

行空间（row space） 里的向量被 $A$ 原样「看见」，映射到列空间，维度不变（ $r$ ）。
零空间（null space） 里的向量被压成 $0$ ，信息彻底丢失。
列空间（column space） 是所有可能的输出，维度 $r$ 。
左零空间（left null space） 是与所有输出都正交的方向， $A$ 永远够不着。

💡 一句话直觉： $A$ 是一个信息通道：输入有 $n$ 维，只有 $r$ 维能通过；输出有 $m$ 维，只有 $r$ 维能被点亮。

类比边界：这是线性通道的图景。非线性网络可以在不同区域用不同的有效秩，四个子空间只描述某一点附近的线性化。

1.2 现实对应：风控台上的四扇门

把因子模型想成一个物流中心：500 只股票是 500 个包裹（输入是权重），8 个因子是 8 条传送带（输出是暴露）。四扇门各有分工：

行空间 $\subseteq R^{8}$ ，维数 7：这 8 个因子里真正独立的 7 个方向。你在这个空间里给目标暴露，模型能听懂。
零空间 $\subseteq R^{8}$ ，维数 $8 - 7 = 1$ ：那个「零暴露的因子组合」。本例里它就是 $v = (0.6, 0.4, 0, \dots, 0, - 1)^{⊤}$ ——同时做多「价值 0.6、成长 0.4」、做空「第 8 个因子 1 份」，对 500 只股票的净暴露恰好为零。模型看不见这个方向。
列空间 $\subseteq R^{500}$ ，维数 7：所有「能被因子解释」的暴露向量，是 500 维空间里的一个 7 维平面。
左零空间 $\subseteq R^{500}$ ，维数 $500 - 7 = 493$ ：与这 7 个暴露方向全正交的仓位方向，落在列空间的正交补里——这就是「纯残差 / 纯 alpha」那部分，因子模型说它没有系统性风险。

分清楚这四扇门，风控的两个问题就有答案了：「我能不能配出这个目标暴露」看列空间（目标在 7 维平面内才配得出）；「同一个组合能不能换个配方」看零空间（ $8 - 7 = 1$ 维自由度，说明有 1 个方向的因子目标根本不影响任何股票）。

这个类比在哪里失效：四个子空间是严格的线性代数，但「因子」这个概念本身是人为构造的。真实市场里因子会失效、会换定义、会在危机时相关性突然趋近 1。四个子空间只告诉你「模型看见了什么、漏了什么」，不告诉你「漏掉的那部分明天会不会咬你」——后者要靠压力测试，不靠线性代数。

1.3 量级直觉

秩亏 1，代价有多大？秩亏意味着理论上的 $σ_{m i n} = 0$ 、 $κ = \infty$ 。实际计算用浮点， $σ_{m i n}$ 不会是精确的 0，而是约 $1 0^{- 5}$ （ $0.6$ 、 $0.4$ 在二进制里不能精确表示，加上数据本身有噪声）。于是 $κ \sim 1 0^{5}$ 。

$κ = 1 0^{5}$ 意味着：目标暴露上 $0.001$ 的误差，会被放大成权重上 $100$ （也就是 10000%）的误差。这就是为什么共线因子必须先做正交化（Gram–Schmidt，第 2.7 节）或 SVD，而不能硬求逆。

2. 定义

设 $A \in R^{m \times n}$ ， $rank (A) = r$ 。

列空间（column space）： $Col (A) = {A x ∣ x \in R^{n}} \subseteq R^{m}$ ，是 $A$ 的 $n$ 个列向量的张成，维数为 $r$ 。

零空间（null space）： $Null (A) = {x \in R^{n} ∣ A x = 0} \subseteq R^{n}$ ，也叫核（kernel），维数为 $n - r$ 。

行空间（row space）： $Row (A) = Col (A^{⊤}) \subseteq R^{n}$ ，是 $A$ 的 $m$ 个行向量的张成，维数为 $r$ 。

左零空间（left null space）： $Null (A^{⊤}) = {y \in R^{m} ∣ A^{⊤} y = 0} \subseteq R^{m}$ ，即满足 $y^{⊤} A = 0$ 的 $y$ ，维数为 $m - r$ 。

秩-零化度定理（rank-nullity theorem）： $dim Null (A) + dim Col (A) = n$ ，即 $(n - r) + r = n$ 。

把四个子空间的两组正交分解打包成「线性代数基本定理」的，是 Strang 1993。

3. 为什么这样定义

为什么要四个而不是两个？因为输入和输出是两个不同的空间，各自都要分成「保留/丢失」两部分。

想解 $A x = b$ ，会问两个问题：

有没有解？ 当且仅当 $b \in Col (A)$ 。若 $b$ 有左零空间分量，就永远解不出来。
解唯一吗？ 不唯一；若 $x_{0}$ 是一个解，则所有解是 $x_{0} + Null (A)$ 。零空间越大，解的自由度越大。

四个子空间把这两个问题几何化：可达性看列空间，唯一性看零空间。行空间与左零空间则是它们的正交补，负责「分解」输入与输出空间。

为什么秩同时等于列空间和行空间的维数？这不是巧合：转置不改变「非零子式的最大阶数」，所以行秩 = 列秩。第 2.6 节给出了秩的直观与等价刻画，本节从 RREF 角度给出构造性证明。

3.1 反事实：如果「有解」定义成「 $A$ 是方阵且 $det \neq = 0$ 」

最先学到的可解判据是 Cramer 法则：方阵、 $det \neq = 0$ 、唯一解。一个很自然的错误推广是——「只有方阵才能解方程」。

取一个 $3 \times 2$ 的矩阵（3 个观测、2 个未知数，典型的超定系统）：

A = 101011

它不是方阵，没有 $det$ 。按上面的判据，应该「解不出来」。

但 $b = (1, 1, 2)^{⊤}$ 确实有解。取 $x = (1, 1)^{⊤}$ ：

A x = 11 1 + 1 = 112 = b

而 $b^{'} = (1, 1, 0)^{⊤}$ 确实无解——第三分量必须等于 $x_{1} + x_{2}$ ，前两个方程已经定了 $x_{1} = x_{2} = 1$ ，和是 2，不是 0。

一眼可见的差别：同一个 $A$ ，一个 $b$ 有解、一个没解。所以「有没有解」不是 $A$ 的性质，而是 $b$ 与 $A$ 的关系——准确说，是 $b$ 在不在 $Col (A)$ 里。

$Col (A)$ 是 $R^{3}$ 里由 $(1, 0, 1)^{⊤}$ 、 $(0, 1, 1)^{⊤}$ 张成的 2 维平面。 $b$ 落在这个平面里， $b^{'}$ 落在平面外。判据是 $b \in Col (A)$ ，与 $A$ 是不是方阵无关。

同理，「解唯一」也不是 $det \neq = 0$ 的性质，而是 $Null (A) = {0}$ 。本例中两列无关，零空间只有零，所以有解时解唯一。可达性看列空间，唯一性看零空间——两件事必须分开判。

4. 性质与推导

4.1 两组正交关系

行空间 ⊥ 零空间（都在 $R^{n}$ ）：若 $x \in Null (A)$ ，则 $A x = 0$ ，即 $A$ 的每一行与 $x$ 的点积都是 0。行空间的任意向量是这些行的线性组合，所以也与 $x$ 正交。

列空间 ⊥ 左零空间（都在 $R^{m}$ ）：若 $y \in Null (A^{⊤})$ ，则 $A^{⊤} y = 0$ ，即 $y$ 与 $A$ 的每一列正交；列空间的任意向量是列的线性组合，所以也与 $y$ 正交。

于是得到两个正交直和分解：

R^{n} = Row (A) \oplus Null (A), R^{m} = Col (A) \oplus Null (A^{⊤})

4.2 秩-零化度的构造性证明

把 $A$ 化成 RREF。设主元有 $r$ 个，位于第 $j_{1}, \dots, j_{r}$ 列；其余 $n - r$ 列是自由列。

每个自由变量取 1、其余自由变量取 0，回代得到唯一的 $x$ ，得到一个零空间基向量。共 $n - r$ 个，线性无关，所以 $dim Null (A) = n - r$ 。
RREF 的主元列是 $e_{1}, \dots, e_{r}$ ，说明 $A$ 的主元列线性无关；而行变换保持列之间的线性关系，每个自由列都是主元列的线性组合（RREF 的系数直接给出），所以主元列张成 $Col (A)$ 。共 $r$ 个，所以 $dim Col (A) = r$ 。

两式相加即得 $n = r + (n - r)$ 。

4.3 常用推论

结论	说明
$rank (A) = rank (A^{⊤})$	行秩 = 列秩
$rank (A^{⊤} A) = rank (A)$	$Null (A^{⊤} A) = Null (A)$
$rank (A B) \leq min (rank A, rank B)$	复合不会增加维数
$A x = b$ 有解 $⟺$ $rank ([A ∣ b]) = rank (A)$	增广不增加秩
方阵可逆 $⟺ r = n$	零空间只有零

$Null (A^{⊤} A) = Null (A)$ 的证明：若 $A x = 0$ ，两边左乘 $A^{⊤}$ 即得 $A^{⊤} A x = 0$ ；反之若 $A^{⊤} A x = 0$ ，左乘 $x^{⊤}$ 得 $∥ A x ∥^{2} = 0$ ，故 $A x = 0$ 。两边零空间相同，维数相同，秩也就相同。

表中这些秩等式与正交补关系的完整证明，见 Horn & Johnson。

5. 例子

5.1 手算： $3 \times 4$ 矩阵的四个子空间

取

A = 101213011101

它把 4 维输入送到 3 维输出。行 3 = 行 1 + 行 2，所以秩最多 2；行 1、行 2 不成比例，秩恰为 2。消元：

A ⟶ 100010 - 2 10 100

（行 1 减 2 倍行 2 得第一行；行 3 减行 1 再减行 2 得零行。）

列空间：主元在第 1、2 列，取 $A$ 的第 1、2 列，基为 $(1, 0, 1)^{⊤}$ 、 $(2, 1, 3)^{⊤}$ ，维数为 2。

零空间：由 RREF， $x_{1} = 2 x_{3} - x_{4}$ ， $x_{2} = - x_{3}$ 。取 $(x_{3}, x_{4}) = (1, 0)$ 与 $(0, 1)$ ，得 $n_{1} = (2, - 1, 1, 0)^{⊤}$ 、 $n_{2} = (- 1, 0, 0, 1)^{⊤}$ ，维数为 2。

行空间：取 RREF 的非零行（与原行空间相同），基为 $(1, 0, - 2, 1)^{⊤}$ 、 $(0, 1, 1, 0)^{⊤}$ ，维数为 2。

左零空间：解 $A^{⊤} y = 0$ ，即 $y$ 与每一列正交。取 $y = (1, 1, - 1)^{⊤}$ ：与第 1 列点积 $1 + 0 - 1 = 0$ ，与第 2 列 $2 + 1 - 3 = 0$ ，与第 3、4 列也为 0。所以 $Null (A^{⊤}) = span {(1, 1, - 1)^{⊤}}$ ，维数为 1。

验证正交与维数：

行空间 ⊥ 零空间： $(1, 0, - 2, 1)^{⊤} \cdot (2, - 1, 1, 0) = 2 - 2 = 0$ ，与 $n_{2}$ 也正交；第二行同理。
列空间 ⊥ 左零空间： $(1, 0, 1) \cdot (1, 1, - 1) = 0$ ， $(2, 1, 3) \cdot (1, 1, - 1) = 0$ 。
秩-零化度： $2 + 2 = 4 = n$ ；输出侧 $2 + 1 = 3 = m$ 。

解方程：取 $b = (3, 1, 4)^{⊤}$ ，它等于第 1 列 + 第 2 列，所以 $x_{0} = (1, 1, 0, 0)^{⊤}$ 是特解；通解是 $x_{0} + s n_{1} + t n_{2}$ 。而 $b^{'} = (0, 0, 1)^{⊤}$ 不在列空间里（前两列的任何组合第三分量都是 $c_{1} + 3 c_{2}$ ，要等于 1 且前两分量都为 0 只能 $c_{1} = c_{2} = 0$ ），所以无解。

5.2 场景闭环：500 只股票的目标暴露

输入： $B \in R^{500 \times 8}$ ，fp32 占 $500 \times 8 \times 4 B = 16$ KB， $rank (B) = 7$ ；目标暴露变化 $Δ β \in R^{8}$ ；当前权重 $w_{0}$ 。组合 20 亿元，500 只股票平均每只 4000 万元。

计算：要求 $B^{⊤} Δ w = Δ β$ ，且 $∥ Δ w ∥$ 最小（换手最小）。最小范数解是

Δ w = B (B^{⊤} B)^{+} Δ β

$(B^{⊤} B)^{+}$ 是 $8 \times 8$ 的伪逆：对 $B^{⊤} B$ 做特征分解（ $8^{3}$ 量级，几百次运算），把 $1 0^{- 5}$ 以下的特征值置零再取倒数。整个求解不到 1 万次运算。

输出：500 个目标权重，按价格换算成股数、取整到 100 股一手，生成第二天的订单。

成本：算力完全不是问题（不到 1 万 FLOPs，一天一次）。真正的成本是换手率： $∥ Δ w ∥$ 每多 1%，20 亿的组合就是 2000 万的交易，按双边千分之二算，4 万元的交易成本。所以「最小范数」不只是数学上漂亮，它直接对应钱。

失败条件与兜底：

秩判断错：代码若假设 $rank = 8$ ， $(B^{⊤} B)^{- 1}$ 不存在（数值上是 $1 0^{5}$ 量级的条件数），解出的权重爆到 $\pm 1 0^{4}$ 。交易系统拒单是最好结局；若系统不设上限，第二天开盘会真的去下这些单。兜底：分解后检查最小奇异值，低于阈值就把维数降到 7。
取整破坏约束：500 只股票各自取整到 100 股，累计的暴露偏差可能到 $0.02$ 。对目标 $0.30$ 来说是 7%，可接受；但若目标本身只有 $0.05$ ，这个误差就不可忽略。兜底：把取整后的实际暴露算回来，超差就再做一次小规模修正。
模型漏掉的方向：零空间里那个 $(0.6, 0.4, 0, \dots, - 1)$ 方向，模型测不到风险。若组合恰好在这个方向建了仓，风控报告会显示「接近中性」，真实风险却全押在一个方向。兜底：定期用实际收益归因反查，而不是只信模型自报的 $β$ 。

6. 常见误区

误区： $dim Col (A) + dim Null (A) = m$ 。纠正：应等于输入维数 $n$ 。 $Col$ 在 $R^{m}$ ， $Null$ 在 $R^{n}$ ，两者不在同一个空间里相加。
误区：零空间就是 $A$ 的零行对应的解。纠正：零空间由自由变量产生，与零行没有直接对应；应看 RREF 的主元列与自由列。
误区：行变换会保持列空间不变。纠正：行变换保持行空间与零空间，但会改变列空间（只保持维数）。所以列空间的基要取原矩阵的主元列，不能取 RREF 的列。
误区：秩就是原矩阵非零行的个数。纠正：非零行个数要化成 REF 后才可靠；原矩阵的行可能相关（如本例行 3 = 行 1 + 行 2）。

7. 概念网络

前置：2.6 秩 —— 秩是信息的维度。
前置：3.6 转置、对称与分块 —— 行空间是列空间的转置，正交性来自点积。
前置：1.6 正交与投影 —— 正交补与直和分解。
后续：4.2 解的存在性与通解 —— 特解 + 零空间。
后续：4.5 伪逆与最小范数解 —— 四个子空间给出伪逆的几何。
后续：7.3 低秩近似 —— 秩决定能压缩多少。
关联：11.2 线性层 —— 权重矩阵的秩瓶颈。

8. 通往大模型：秩就是信息瓶颈

出现位置：权重矩阵的秩、LoRA 的低秩更新、注意力的打分矩阵、隐藏状态的有效维度。

形状与运算：任意 $W \in R^{D_{out} \times D_{in}}$ 的秩不超过 $min (D_{out}, D_{in})$ 。LoRA 把更新写成 $Δ W = B A$ ， $B \in R^{D \times r}$ 、 $A \in R^{r \times k}$ ，于是 $rank (Δ W) \leq r$ ：它只能改动权重的一个 $r$ 维子空间。注意力里 $S = Q K^{⊤}$ ， $Q \in R^{T \times d_{k}}$ 、 $K^{⊤} \in R^{d_{k} \times T}$ ，所以 $rank (S) \leq d_{k}$ ； $T = 1024$ 、 $d_{k} = 64$ 时， $1024 \times 1024$ 的分数矩阵秩最多 64。

为什么需要：秩告诉你「这个矩阵能携带多少独立信息」。若某层权重秩为 $r$ ，则无论输入多丰富，该层输出只能落在 $r$ 维子空间里（加偏置后是这个子空间的平移）；残差流经过它，该分支能新增的信息被限制在 $r$ 维。这就是低秩压缩、LoRA、KV 低秩缓存等方法的共同数学基础。

可检验结论：随机生成 $Q, K \in R^{1024 \times 64}$ ，计算 $S = Q K^{⊤}$ 的奇异值；非零奇异值恰有 64 个（数值上其余接近 $1 0^{- 14}$ ），即 np.linalg.matrix_rank(S) == 64。用奇异值阈值而不是「数非零行」来定义秩，是 Golub & Van Loan 的口径。若把 $d_{k}$ 降到 8，秩也降到 8——注意力的表达力被每个头的维度直接限制。

如果这一步算错，用户会看到什么现象：把秩当成满的，风控报告会显示「组合在 8 个因子上全部中性」，听起来完美，实际那个共线方向上押的仓没被计量，遇到风格切换时回撤远超模型预测的 VaR——用户看到的是「模型说风险 2%，实际亏了 15%」。另一种现象是权重算出 $\pm$ 几百 %，被交易系统直接拒单，这个反而安全，因为它会报错。模型侧同理：如果误以为某层权重是满秩、按满秩去分配容量，实际有效维度更低，表现是「加宽了也没变强」，而这不会触发任何报错。

9. 练习

概念：用四个子空间解释「 $A x = b$ 有解且解唯一」的条件。
计算： $A = 101011112$ ，求四个子空间的基与维数，并验证两组正交关系。
计算：接上题，判断 $b = (1, 1, 2)^{⊤}$ 与 $b^{'} = (1, 0, 0)^{⊤}$ 是否在列空间里。
计算： $A = 123246$ ，求秩、零空间、左零空间，并验证 $3 = r + (m - r)$ 。
开放：如果一层权重被约束为秩 1，它的输入输出关系会退化成什么样？这对模型容量意味着什么？

参考答案

有解 $⟺$ $b \in Col (A)$ ；解唯一 $⟺$ $Null (A) = {0}$ ，即 $r = n$ 。两者同时成立要求 $r = n$ 且 $b$ 在列空间。
行 3 = 行 1 + 行 2，秩 2；RREF 为 $100010110$ 。列空间基 $(1, 0, 1)^{⊤}, (0, 1, 1)^{⊤}$ ；零空间基 $(- 1, - 1, 1)^{⊤}$ ；行空间基 $(1, 0, 1), (0, 1, 1)$ ；左零空间基 $(1, 1, - 1)^{⊤}$ 。验证： $(1, 0, 1) \cdot (- 1, - 1, 1) = 0$ ， $(1, 1, - 1) \cdot (1, 0, 1) = 0$ 、 $\cdot (0, 1, 1) = 0$ 。
$b = (1, 1, 2)^{⊤}$ 是两列之和，在列空间； $b^{'} = (1, 0, 0)^{⊤}$ 若在列空间，需 $c_{1} = 1, c_{2} = 0$ 且第三分量 $c_{1} + c_{2} = 0$ ，矛盾，不在。
两列成比例，秩 1；零空间由 $x_{1} + 2 x_{2} = 0$ 给出，基 $(- 2, 1)^{⊤}$ ，维数 1；左零空间由 $y_{1} + 2 y_{2} + 3 y_{3} = 0$ 与 $2 y_{1} + 4 y_{2} + 6 y_{3} = 0$ （同一方程）给出，基 $(2, - 1, 0)^{⊤}, (- 3, 0, 1)^{⊤}$ ，维数 2。 $3 = 1 + 2$ 。
秩 1 权重 $W = u v^{⊤}$ 先与 $v$ 做内积（得到在 $v$ 方向上的投影系数），再沿 $u$ 输出： $W x = (v^{⊤} x) u$ 。所有输出共线，模型只能学「一个方向」的映射，容量急剧下降；但计算与存储都极省。

10. 一页速记

四个子空间： $Col (A) \subseteq R^{m}$ 、 $Null (A) \subseteq R^{n}$ 、 $Row (A) \subseteq R^{n}$ 、 $Null (A^{⊤}) \subseteq R^{m}$ 。
物理意义 / 现实对应：四个子空间是「信息通道的四扇门」；在风控里，列空间是「模型能解释的仓位」，零空间是「模型看不见的押注」。
维数： $r, n - r, r, m - r$ 。
正交：行空间 ⊥ 零空间，列空间 ⊥ 左零空间；两个正交直和分解。
秩-零化度： $r + (n - r) = n$ ；行秩 = 列秩。
可解性看列空间，唯一性看零空间； $r$ 就是信息通道的宽度。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

斯特朗（Gilbert Strang, 1993）：The Fundamental Theorem of Linear Algebra。把四个子空间的两组正交分解与 $r + (n - r) = n$ 打包成「线性代数基本定理」，本页整页结构出自这篇。Amer. Math. Monthly
Horn & Johnson（2012）：Matrix Analysis（第 2 版）。给出 $rank (A) = rank (A^{⊤})$ 、 $rank (A^{⊤} A) = rank (A)$ 与正交补分解的完整证明，本页 §4.3 的推论表以它为准。Cambridge University Press
Golub & Van Loan（2013）：Matrix Computations（第 4 版）。用奇异值阈值定义「数值秩」，本页 §8 用 matrix_rank 判断 $Q K^{⊤}$ 的秩就依赖这个口径。Johns Hopkins University Press

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随堂测 · 6 题

数值难度 2第 1 / 6 题

设

A = 101213011101

，

rank (A)

是多少？

没思路？看原文

源文件：03-矩阵与线性映射/07-四个基本子空间.md