M054 篇概念18 道题

M05 · 行列式

一句话：行列式是线性变换对「有向体积」的缩放倍率；它用一个数回答「体积变几倍、有没有压扁、有没有翻面」。

这个模块解决什么

大模型里很少直接调用 det，但「变量替换」和「体积缩放」无处不在：概率密度换元要乘 Jacobian 行列式，归一化流的训练目标里有一项 $lo g ∣ det J ∣$ ，多元高斯的密度里有 $lo g det Σ$ 。

本模块从几何出发，回答四个问题：

flowchart LR A[5.1 体积的缩放因子] --> B[5.2 性质与计算] B --> C[5.3 逆与 Cramer] A --> D[5.4 Jacobian 与换元] C --> D

顺序	文档	时间	读完你应该能……
1	5.1 行列式：体积的缩放因子	30 min	用面积/体积解释 $det$ ，说出负号的几何含义
2	5.2 行列式的性质与计算	40 min	用行变换和按行展开算 $3 \times 3$ ，解释交换变号
3	5.3 逆、Cramer 法则与伴随矩阵	30 min	用伴随矩阵求逆，写出 Cramer 公式并说明其局限
4	5.4 行列式与 Jacobian	35 min	推导极坐标的 $r$ ，写出密度变换与 flow 的 log-det

概率密度变换：线性层 $W$ 改变体积，密度要除以 $∣ det W ∣$ （5.1、5.4）
归一化流：训练目标含 $lo g ∣ det J ∣$ ；coupling 层用三角 Jacobian 把它降到 $O (D)$ （5.4）
多元高斯： $lo g p (x)$ 含 $- \frac{1}{2} lo g det Σ$ ，用 Cholesky 算（5.3）
数值可逆性： $det$ 小不等于病态，判断要看条件数/最小奇异值（5.1、5.2）
高维下溢： $0. 1^{1000}$ 在 float64 中是 0，必须用 slogdet 或 $\sum lo g ∣ u_{ii} ∣$ （5.2）
Cramer 的定位：理论优雅、 $O (n^{4})$ 且不稳定，实际用 LU/QR/SVD（5.3）

自测答案

$det = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$ ；面积变为 5 倍； $det > 0$ ，定向不变。
列线性相关； $rank (A) < n$ ；存在非零 $x$ 使 $A x = 0$ ；不可逆； $n$ 维体积被压成 0（降维）。
两行是有向面积的两条边；交换它们只改变「从第一条边转到第二条边」的方向，面积大小不变、符号相反，所以 $det$ 变号。
沿第一行： $1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0 = 1 + 2 = 3$ 。
$adj (B) = [2 - 1 - 1 3]$ ， $B^{- 1} = \frac{1}{5} [2 - 1 - 1 3]$ ； $x = B^{- 1} (5, 5)^{⊤} = (1, 2)^{⊤}$ 。
$J = [cos θ sin θ - r sin θ r cos θ]$ ， $det J = r (cos^{2} θ + sin^{2} θ) = r$ ；半径 $r$ 处角宽度 $d θ$ 对应弧长 $r d θ$ ，所以面积元多出因子 $r$ 。

uv run --with numpy python labs/lab05_行列式.py