3.3 矩阵乘法：四种视角

本节位置：模块 3 · 矩阵与线性映射｜前置：3.2 ｜预计：40 分钟

一句话：矩阵乘法是「复合两个线性映射」，行乘列、列组合、行组合、外积和只是同一笔账的四种记法。

0. 场景引入

一个 5G 基站的基带板，每个时隙 0.5 ms 就要重算一次等效信道。链路是串起来的：

H_{eff} = R H F

$F \in C^{64 \times 8}$ 是发射预编码（64 根天线、8 层数据）， $H \in C^{4 \times 64}$ 是空口信道（终端 4 根天线）， $R \in C^{2 \times 4}$ 是接收合并（4 根天线合成 2 个基带流）。三者相乘得 $2 \times 8$ 的等效信道——它决定这 8 层数据能不能被分开。

一个 100 MHz 载波有 3276 个子载波（273 个资源块 × 12），每个都要算一遍 $R H F$ 。基带 DSP 的预算是每时隙约 30 MFLOP，折合 60 GFLOP/s。

决定：先算 $R H$ 还是先算 $H F$ ？两者数学上完全一样（结合律保证），但一个要 $512 + 1024 = 1536$ 次复数乘加，另一个要 $2048 + 64 = 2112$ 次，少 27%；中间矩阵一个 128 个复数、一个 32 个复数，差 4 倍。

代价：等效信道算错，基站会误以为 8 层数据互不干扰，而实际层间干扰有 -10 dB。终端解调误块率从 1% 飙到 30%，用户看到的是视频一直转圈、信号满格却不走流量。

问题：为什么「先乘哪两个」不影响结果，却影响代价？为什么两个矩阵相乘必须是行乘列，而不能逐元素？

读完本节，你应该能回答三件事：

四种视角（行乘列、列组合、行组合、外积和）各自回答什么问题；
为什么结合律允许你自由加括号，而交换律不允许你换顺序；
一次矩阵链乘的 FLOPs 与中间内存怎么估，为什么两者会指向不同的最优括号。

1. 直觉

1.1 四种读法

矩阵乘法有四种读法，它们回答四个不同的问题：

行乘列（row times column）： $c_{ij}$ 是 $A$ 第 $i$ 行与 $B$ 第 $j$ 列的点积——「第 $i$ 个输出对第 $j$ 个输入通道的总响应」。
列组合（columns）： $C$ 的第 $j$ 列是 $A$ 乘 $B$ 的第 $j$ 列——「 $B$ 的第 $j$ 个输入方向经过 $A$ 后去哪」。
行组合（rows）： $C$ 的第 $i$ 行是 $A$ 的第 $i$ 行乘 $B$ ——「 $A$ 的第 $i$ 个输出方向如何混合 $B$ 的行」。
外积和（sum of outer products）： $C = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}^{⊤}$ ——「 $n$ 个秩 1 矩阵叠加」。

💡 一句话直觉：矩阵乘法 = 先做 $B$ 再做 $A$ ；四种视角是四种「按什么顺序加」的记账方式。

类比边界：这个「复合」解释只对线性映射成立。若中间夹了非线性（ReLU、softmax），就不能合并成一个矩阵；这也正是深度网络不能塌缩成单层的原因。

矩阵乘法：先作用 B 再作用 A，与直接乘 AB 相同

图：为便于画图，这里用 $2 \times 2$ 矩阵演示；先作用 $B$ 再作用 $A$ ，与直接乘 $A B$ 得到同一个正方形的像。正文的 $2 \times 3$ 与 $3 \times 2$ 复合同理。

1.2 现实对应：一条串联的流水线

最简单的复合是两个小矩阵。第一层 $B \in R^{3 \times 2}$ 把 2 维变成 3 维，第二层 $A \in R^{2 \times 3}$ 再变回 2 维。输入 $x \in R^{2}$ 先过 $B$ 再过 $A$ ，结果是 $A (B x)$ 。如果有 100 万个 token 要一次算完，你希望有一个矩阵 $C$ 直接表示「先 $B$ 后 $A$ 」，让 $C x = A (B x)$ 对所有 $x$ 成立——这个 $C$ 就是 $A B$ ，形状 $(2 \times 3) (3 \times 2) = (2 \times 2)$ 。

现实里的每一级都有物理含义。以开头的 5G 链路为例：

$F$ ：把 8 层数据「铺」到 64 根天线上（预编码）；
$H$ ：空口传播，每根发射天线到每根接收天线一条路径；
$R$ ：把 4 根天线的信号「压」成 2 个基带流。

乘积 $R H F$ 是整条链路的等效映射：给 8 层输入，直接得 2 个基带输出，中间的 64 维、4 维全部被消掉。这也解释了为什么中间维会在形状里消失—— $(2 \times 4) (4 \times 64) (64 \times 8) = (2 \times 8)$ 。

这个类比在哪里失效：流水线的每一级必须是线性的，才能合并成一个矩阵。实际链路里功率放大器会饱和、ADC 会量化（取整）、相位噪声让 $H$ 随时间漂移。这些一旦进来，「三级合并成一个矩阵」就不再成立——这也是实际系统必须在每一级留观测点（耦合器、参考信号）的原因。

1.3 量级直觉

一次 $4096 \times 4096$ 乘 $4096 \times 4096$ 的 GEMM，FLOPs 是 $2 \cdot 409 6^{3} \approx 1.37 \times 1 0^{11}$ ，而参与的三块矩阵按 fp16 存一共 $3 \cdot 409 6^{2} \cdot 2 B \approx 100$ MB。计算/访存比约 $1.4 \times 1 0^{3}$ FLOP/B——这个数字越大，GPU 越「吃得饱」。

对比矩阵乘向量： $4096 \times 4096$ 乘一个向量只有 $2 \cdot 409 6^{2} \approx 3.4 \times 1 0^{7}$ FLOPs，却要读 33 MB 的矩阵，比值只有 $1$ FLOP/B。同一个矩阵，乘矩阵比乘向量「划算」一千倍——这就是批处理存在的理由。

2. 定义

2.1 矩阵乘法（matrix multiplication）

设 $A \in R^{m \times n}$ ， $B \in R^{n \times p}$ ，则 $C = A B \in R^{m \times p}$ ，其元素为

c_{ij} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j}, i = 1, \dots, m, j = 1, \dots, p

逐项读法： $C$ 的第 $(i, j)$ 个元素，是 $A$ 第 $i$ 行与 $B$ 第 $j$ 列的长度 $n$ 点积。形状： $(m \times n) (n \times p) = (m \times p)$ ，中间维 $n$ 必须相等，且会在结果里消失。

2.2 四种视角的公式

行乘列： $c_{ij} = a_{i :} b_{: j}$ ，其中 $a_{i :}$ 是 $A$ 的第 $i$ 行， $b_{: j}$ 是 $B$ 的第 $j$ 列。

列组合：把 $B$ 按列分块 $B = [b_{1} \dots b_{p}]$ ，则 $C$ 的每一列是 $c_{j} = A b_{j}$ （ $j = 1, \dots, p$ ）。

行组合：把 $A$ 按行分块，则 $C$ 的每一行是 $c_{i :} = a_{i :} B$ （ $i = 1, \dots, m$ ）。

外积和：把 $A$ 按列分块、 $B$ 按行分块，则 $A B = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} b_{k}^{⊤}$ ，其中 $a_{k} \in R^{m}$ 是 $A$ 的第 $k$ 列， $b_{k}^{⊤} \in R^{1 \times p}$ 是 $B$ 的第 $k$ 行；每一项 $a_{k} b_{k}^{⊤}$ 是 $m \times p$ 的秩 1 矩阵。

3. 为什么这样定义

因为矩阵代表线性映射，而映射可以复合。设 $B$ 对应 $T_{B} : R^{p} \to R^{n}$ ， $A$ 对应 $T_{A} : R^{n} \to R^{m}$ ，则复合映射 $T_{A} \circ T_{B} : R^{p} \to R^{m}$ 仍是线性的，必然对应某个矩阵 $C$ 。这个 $C$ 就是 $A B$ 。这个「乘法 = 复合」的定义来自 Cayley 1858：他把矩阵乘法写成线性替换的复合，并指出它结合、但一般不可交换。

如果定义成逐元素乘，复合就做不到了：逐元素乘只对同形状矩阵有意义，而且 $(A ⊙ B) x \neq = A ⊙ (B x)$ 。矩阵乘法的每个元素都等于「一行 × 一列」，正是为了让 $(A B) x = A (B x)$ 对所有 $x$ 成立。§4.1 会证明这一点。

为什么中间维必须相等？因为复合要求 $B$ 的输出维（ $n$ ）等于 $A$ 的输入维（ $n$ ）。形状不匹配，映射根本接不上。

3.1 反事实：如果定义成逐元素相乘

取两个 $2 \times 2$ ：

A = [1324], B = [5768]

行乘列： $c_{11} = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ ， $c_{12} = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 8 = 22$ ， $c_{21} = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7 = 43$ ， $c_{22} = 3 \cdot 6 + 4 \cdot 8 = 50$ ，即

A B = [19432250]

逐元素： $A ⊙ B = [5211232]$ 。

现在看复合。取输入 $x = (1, 0)^{⊤}$ （只开第一层）：

A (B x) = A [57] = [1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 3 \cdot 5 + 4 \cdot 7] = [1943]

用逐元素矩阵作用在同一个 $x$ 上，取它的第 1 列：

(A ⊙ B) x = [521]

$19$ 对 $5$ ， $43$ 对 $21$ ——差了将近 4 倍和 2 倍，而且偏差随 $x$ 变（换个 $x$ 比例就变），不能靠乘一个常数修正。

结论：逐元素乘只在一种情形下等于复合——两个矩阵都是对角的。对角矩阵的复合确实就是逐元素乘（对应位置的比例相乘）。一旦出现非对角项（也就是「不同通道之间的混合」），逐元素乘就把混合关系全部丢掉。这也解释了工程上的分工：缩放可以用逐元素，线性层不行。

4. 性质与推导

4.1 定义是被复合逼出来的

我们希望 $(A B) x = A (B x)$ 。看第 $i$ 个分量：

((A B) x)_{i} = j = 1 \sum p (A B)_{ij} x_{j} = j = 1 \sum p (k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j}) x_{j} = k = 1 \sum n a_{ik} (B x)_{k} j = 1 \sum p b_{k j} x_{j} = (A (B x))_{i}

把 $(A B)_{ij}$ 换成任何别的公式，这一步都走不通。取 $x = e_{j}$ 还能直接看出： $A B$ 的第 $j$ 列必须是 $A b_{j}$ 。所以「行乘列再求和」不是任意约定，而是复合映射的唯一矩阵表示。

4.2 四种视角为什么一致

列组合与行乘列： $A b_{j}$ 的第 $i$ 个分量就是 $\sum_{k} a_{ik} b_{k j} = c_{ij}$ 。
行组合与行乘列： $a_{i :} B$ 的第 $j$ 个分量也是 $\sum_{k} a_{ik} b_{k j} = c_{ij}$ 。
外积和： $\sum_{k} a_{k} b_{k}^{⊤}$ 的 $(i, j)$ 元素是 $\sum_{k} a_{ik} b_{k j} = c_{ij}$ 。

四种视角只是把同一个三重循环按不同轴分组，结果必然相同。

4.3 运算性质

性质	式子	注意
结合律	$(A B) C = A (B C)$	形状接得上就成立
分配律	$A (B + C) = A B + A C$	形状必须匹配
单位阵	$I_{m} A = A I_{n} = A$	左右单位阵尺寸可不同
转置	$(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$	顺序反转
幂	$A^{k} = AA \dots A$	只对方阵
不可交换	一般 $A B \neq = B A$	甚至可能 $B A$ 无定义

FLOPs： $m \times n$ 乘 $n \times p$ 需要 $mn p$ 次乘法与 $mn p$ 次加法，共 $2 mn p$ 次浮点运算。 $2 \times 3$ 乘 $3 \times 2$ 是 $2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ FLOPs。这个计数不是下界：Strassen 1969 用 7 次乘法完成 $2 \times 2$ 分块乘法，把渐近指数降到 $lo g_{2} 7 \approx 2.81$ 。

4.4 零因子的存在

$A B = O$ 不要求 $A = O$ 或 $B = O$ 。例如 $A = [0010]$ 非零，但 $A^{2} = [0000]$ 是零矩阵。这说明矩阵乘法没有「消去律」： $A B = A C$ 不能直接推出 $B = C$ 。

用零空间的语言说： $A B = O$ 意味着 $B$ 的每一列都落在 $A$ 的零空间里，乘积的秩因此被乘掉。秩是刻画「哪些信息被压掉」的不变量，第 3.7 节会用四个子空间把它讲完。

5. 例子

5.1 手算：四种视角算同一个 $A B$

取

A = [142536] \in R^{2 \times 3}, B = 101011 \in R^{3 \times 2}

行乘列： $c_{11} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 = 4$ ， $c_{12} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = 5$ ， $c_{21} = 4 + 0 + 6 = 10$ ， $c_{22} = 0 + 5 + 6 = 11$ 。所以

A B = [410511]

列组合： $B$ 的两列是 $b_{1} = (1, 0, 1)^{⊤}$ 、 $b_{2} = (0, 1, 1)^{⊤}$ ，

A b_{1} = [1 + 3 4 + 6] = [410], A b_{2} = [2 + 3 5 + 6] = [511]

两列拼起来正是 $A B$ 。

行组合： $A$ 的两行乘 $B$ ： $(1, 2, 3) B = (4, 5)$ ， $(4, 5, 6) B = (10, 11)$ 。反过来， $A B$ 的第 $i$ 行也是 $B$ 的行的加权和，权重是 $A$ 的第 $i$ 行： $1 (1, 0) + 2 (0, 1) + 3 (1, 1) = (4, 5)$ 。

外积和：

[14] (1, 0) + [25] (0, 1) + [36] (1, 1) = [1400] + [0025] + [3636] = [410511]

四种视角完全一致。

5.2 手算：复合映射与 FLOPs

再取 $C = 102210 \in R^{3 \times 2}$ 。复合 $C (A B) = 102210 [410511] = 24108271110$ ，形状 $3 \times 2$ 。先算 $C A$ 再乘 $B$ 结果相同： $C A$ 的第一行是 $1 (1, 2, 3) + 2 (4, 5, 6) = (9, 12, 15)$ ，再乘 $B$ 得 $(9 + 15, 12 + 15) = (24, 27)$ 。这就是结合律。

整个 $C (A B)$ 的计算量约 $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$ （先 $A B$ ）加 $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2$ （再乘 $C$ ），共 48 FLOPs；若先算 $C A$ 再乘 $B$ ，则要 $2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 72$ FLOPs。结合律保证结果相同，但括号化顺序会改变计算量——这就是矩阵链乘顺序优化的入口。

5.3 场景闭环：0.5 ms 里的三次矩阵乘

输入：每个子载波一组 $(R, H, F)$ ，形状 $(2 \times 4)$ 、 $(4 \times 64)$ 、 $(64 \times 8)$ ，复数 fp16（每个复数 4 字节）。共 3276 个子载波。一帧的原始数据 $= 3276 \times (8 + 256 + 512) = 2.5 \times 1 0^{6}$ 个复数 $\approx 10$ MB。

计算：两种括号，以复数乘加计：

$(R H) F$ ： $R H$ 是 $2 \cdot 4 \cdot 64 = 512$ 次，再乘 $F$ 是 $2 \cdot 64 \cdot 8 = 1024$ 次，共 1536；
$R (H F)$ ： $H F$ 是 $4 \cdot 64 \cdot 8 = 2048$ 次，再乘 $R$ 是 $2 \cdot 4 \cdot 8 = 64$ 次，共 2112。

比值 $2112/1536 = 1.375$ 。乘上 3276 个子载波、2000 个时隙/秒，前者 $1.0 \times 1 0^{10}$ 次复数乘加/秒，后者 $1.4 \times 1 0^{10}$ 。

输出：每个子载波一个 $2 \times 8$ 的等效矩阵，送进 MIMO 检测器算后处理信干噪比（SINR），再据此查表选调制编码档位（MCS）：SINR 高就上 256QAM，低就退回 QPSK。

成本：一次复数乘加折成 4 次实数乘 + 2 次实数加， $1.0 \times 1 0^{10}$ 次/秒约合 60 GFLOP/s——正好卡在基带 DSP 的预算线上。省下的那 27% 不是「慢一点」，是「要不要砍掉四分之一子载波、改用插值」。中间内存也指相反： $R H$ 是 $2 \times 64 = 128$ 个复数， $H F$ 只有 $4 \times 8 = 32$ 个，前者要多占 4 倍片上缓存。FLOPs 最少和内存最少，在这里不是同一个括号——这才是真正的取舍。

失败条件与兜底：

信道过期： $H$ 是 0.5 ms 前估的。终端以 30 km/h 移动（8.3 m/s），0.5 ms 走 4.2 mm；28 GHz 下波长约 10.7 mm，相位就转了 $2 π \cdot 4.2/10.7 \approx 2.5$ rad。等效信道已经不对。兜底：退回更保守的 MCS，并加密参考信号。
秩塌陷：终端在电梯里，8 层里只有 2 层有能量， $H$ 的奇异值从大到小差 30 dB，等效信道接近秩 2。此时按 8 层算出的 SINR 是虚高的，选高档位会大量误块。兜底：用秩指示（RI）反馈，按 $σ_{i} / σ_{1}$ 的阈值砍层数。
预编码量化： $F$ 是从码本里选的，不是精确的奇异向量，实际 $R H F$ 会偏离设计值几个 dB。兜底：外环链路自适应——根据 ACK/NACK 统计慢慢下调 MCS，用「事后」补「事前」的偏差。

6. 常见误区

误区：矩阵乘法可交换。纠正：取 $D = [2111]$ 、 $E = [1231]$ ，则 $D E = [4374]$ ， $E D = [5543]$ ，不同。
误区： $A B$ 就是对应元素相乘。纠正：那是 Hadamard 积 $A ⊙ B$ ；矩阵乘法的内维会被求和掉。
误区： $A B = O$ 则 $A = O$ 或 $B = O$ 。纠正：§4.4 的反例即可说明；矩阵没有消去律。
误区： $(A B)^{⊤} = A^{⊤} B^{⊤}$ 。纠正：顺序必须反转， $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$ ，否则形状常常接不上。

7. 概念网络

前置：3.2 矩阵乘向量 —— $A x$ 是列组合。
前置：1.3 点积 —— 行乘列是一次点积。
后续：3.4 逆矩阵与可逆性 —— 复合的逆是逆的反序复合。
后续：3.5 高斯消元与 LU —— 把矩阵分解成简单矩阵的乘积。
后续：3.6 转置、对称与分块 —— 分块乘法与转置。
后续：3.7 四个基本子空间 —— $A B$ 的秩不会超过任一因子。
关联：10.3 BLAS 与 GEMM —— 为什么 GPU 为矩阵乘法而生。

8. 通往大模型：GEMM 是训练的计量单位

出现位置：线性层、注意力打分、FFN、输出投影，全部是批量矩阵乘法（batched matrix multiplication），底层调用 GEMM（general matrix multiply）。

形状：一个 batch 的隐藏状态 $X \in R^{B \times T \times D}$ ，展平成 $[B T, D]$ 后与 $W^{⊤} \in R^{D \times 4 D}$ 相乘，得到一个 $[B T, 4 D]$ 的中间结果。注意力打分则是 $Q \in R^{B \times H \times T \times d_{k}}$ 与 $K^{⊤} \in R^{B \times H \times d_{k} \times T}$ 相乘，得到 $[B, H, T, T]$ 的分数矩阵。

为什么需要：GEMM 的 FLOPs 是 $2 mn p$ ，而显存访问是 $O (mn + n p + m p)$ （这套计数与分块实现见 Golub & Van Loan 第 1 章）。矩阵越大，计算/访存比越高，GPU 越能被喂饱。这解释了为什么训练要凑大 batch、为什么推理要合并请求：小矩阵的 GEMM 会被内存带宽卡住。

可检验结论： $B = 8, T = 1024, D = 4096$ 的 FFN 升维（ $D \to 4 D$ ），FLOPs 为 $2 \cdot (8 \cdot 1024) \cdot 4096 \cdot 16384 \approx 1.1 \times 1 0^{12}$ ，即约 1.1 TFLOP；若把 batch 减半，FLOPs 减半，但权重读取量不变，所以单位算力的能耗反而上升。大 batch 不只是快，是更省。

如果这一步算错，用户会看到什么现象：括号选错只费电、发热、掉续航，结果完全正确；真正的错是把 $A B$ 当成 $A ⊙ B$ ——发射端会误以为各层正交，实际层间干扰压不下去，终端表现为「信号满格但网速很慢」、重传率飙升。最隐蔽的一种是 $(A B)^{⊤}$ 写成 $A^{⊤} B^{⊤}$ ：顺序一反，等效信道成了它的转置，检测器解出的符号全错，现象不是「有点慢」而是「完全解不出」，此时终端会一直停在搜网状态。

9. 练习

概念：用复合映射解释为什么 $(A B) C = A (B C)$ ，并说明为什么 $A B \neq = B A$ 不影响结合律。
计算： $A = [102101]$ ， $B = 210101$ ，用行乘列求 $A B$ ，再用外积和验证。
计算：接上题，求 $B A$ ，比较形状与数值，说明不可交换。
计算： $A \in R^{4 \times 6}$ 、 $B \in R^{6 \times 3}$ 、 $C \in R^{3 \times 5}$ ，求 $(A B) C$ 与 $A (B C)$ 的 FLOPs，哪个更省？
开放：为什么 GPU 上的矩阵乘法通常要把矩阵分块（tiling）？分块与「四种视角」中的哪一种最接近？

参考答案

复合映射满足 $T_{A} \circ (T_{B} \circ T_{C}) = (T_{A} \circ T_{B}) \circ T_{C}$ ，而矩阵乘法正是复合的表示，所以结合律成立。 $A B \neq = B A$ 是「先 $B$ 后 $A$ 」与「先 $A$ 后 $B$ 」不同，不涉及三个映射的结合顺序。
$A B = [4111]$ 。外积和： $(1, 0)^{⊤} (2, 1) + (2, 1)^{⊤} (1, 0) + (0, 1)^{⊤} (0, 1) = [2010] + [2100] + [0001] = [4111]$ 。
$B A = 210521101$ ，是 $3 \times 3$ ；与 $A B$ 形状就不同，谈不上相等。
$(A B) C$ ： $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 3 + 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 5 = 144 + 120 = 264$ ； $A (B C)$ ： $2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot 5 + 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 5 = 180 + 240 = 420$ 。先算 $A B$ 更省。一般应让中间矩阵尽量小。
分块把大矩阵拆成能塞进片上缓存的小块，提高数据复用、减少显存往返；它与「外积和/列组合」最接近——每次取一块 $A$ 的列块与 $B$ 的行块做外积累加。

10. 一页速记

$c_{ij} = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} b_{k j}$ ；形状 $(m \times n) (n \times p) = (m \times p)$ 。
物理意义 / 现实对应：矩阵乘法是「两台机器串联」；现实里就是一条流水线的总传递函数，中间维是流水线的工位数，中间维在结果里消失。
四种视角：行乘列、列组合 $A b_{j}$ 、行组合 $a_{i :} B$ 、外积和 $\sum_{k} a_{k} b_{k}^{⊤}$ 。
矩阵乘法 = 复合映射： $(A B) x = A (B x)$ 。
不可交换、无消去律、 $(A B)^{⊤} = B^{⊤} A^{⊤}$ 。
FLOPs $= 2 mn p$ ；GEMM 是训练算力的基本计量单位。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

凯莱（Arthur Cayley, 1858）：A Memoir on the Theory of Matrices。把矩阵乘法定义为线性替换的复合，并指出它结合但一般不可交换；本页 §2.1 的「行乘列」是它的现代写法。Phil. Trans. R. Soc. (1858)
Golub & Van Loan（2013）：Matrix Computations（第 4 版）。第 1 章给出 GEMM 的 $2 mn p$ 计数、分块算法与快速乘法的适用边界，本页 §4.3 与 §8 的算力账以它为准。Johns Hopkins University Press
施特拉森（Volker Strassen, 1969）：Gaussian Elimination Is Not Optimal。用 7 次乘法完成 $2 \times 2$ 分块乘法，证明 $2 mn p$ 不是矩阵乘法的下界。Numerische Mathematik

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随堂测 · 4 题

数值难度 2第 1 / 4 题

设

A = [142536]

、

B = 101011

，

A B

的第

(2, 2)

个元素是多少？

没思路？看原文

源文件：03-矩阵与线性映射/03-矩阵乘法.md