5.2 行列式的性质与计算

本节位置：模块 5 · 行列式｜前置：5.1 ｜预计：40 分钟

一句话：行列式被「多线性 + 交换变号 + 单位阵为 1」三条规则唯一确定；这三条既是几何，也是 $O (n^{3})$ 算法。

0. 场景引入

材料组凌晨收到一条单晶精修结果：一个新合成的三斜晶胞，三条晶格矢量（单位 nm）

a = (0.500, 0, 0), b = (0.100, 0.480, 0), c = (0.050, 0.070, 0.450) .

他们要在组会上回答一个很实际的问题：这个晶胞里装得下几个分子？答案决定密度，密度又决定「掺杂 3%」的结论站不站得住。

手算体积：把三条矢量按行排成矩阵，按第一行展开，

det = 0.500 \times (0.480 \times 0.450 - 0 \times 0.070) = 0.108 nm^{3} .

晶胞含 $Z = 4$ 个分子、分子量 136.0 g/mol 时，质量 $\frac{4 \times 136.0}{6.022 \times 1 0 ^{23}} = 9.03 \times 1 0^{- 22}$ g，密度 $\frac{9.03 \times 1 0 ^{- 22}}{0.108 \times 1 0 ^{- 21}} = 8.36$ g/cm³。

注意体积不是「三个晶格常数相乘」：这里 $0.500 \times 0.480 \times 0.450$ 碰巧也是 0.108，因为这个标准取向把矩阵变成了下三角；换一个取向，乘积会变，体积不会（§3.1）。

麻烦在精度：另一次精修把 $b_{y}$ 报成 0.475（差 1%，在误差棒内），体积变成 0.1069 nm³，密度 8.45。两个数都「对」，但只能报一个。

决策：按第一次的 8.36 报，还是按第二次的 8.45 报并附误差棒？代价：报错，审稿人用另一组数复算对不上，整篇返修；重测一次单晶要占机时 8 小时。

读完本节，你应该能回答三件事：

为什么行列式恰好等于晶胞体积，按行展开、消元、Leibniz 公式为什么给同一个数？
交换两行为什么要变号？在晶体学里这个符号对应什么？
一个 $100 \times 100$ 的行列式，为什么不能「按定义」算？

1. 直觉

$det$ 是有向体积的缩放倍率（5.1）。对矩阵做行操作，就是在移动平行多面体的棱，于是体积有三种基本变化：

剪切：把一行加上另一行的倍数，底面和高都不变 → 体积不变；
拉伸：把一行乘 $c$ ，体积也乘 $c$ ；
交换：同一个平行多面体，棱的顺序反了 → 有向体积变号。

💡 一句话直觉：行列式就是这三条几何规则的算术化；所有计算公式都是它们的推论。

1.1 它在现实世界里对应什么

晶体学的整条定量链路都挂在这个数上：三条晶格矢量张成的平行六面体体积，就是晶胞体积。

数学对象	晶体学里的对应物
矩阵的行	三条晶格矢量 $a, b, c$
$∣ det A ∣$	晶胞体积，密度公式的分母
交换两行	换晶轴顺序（右手系变左手系），体积不变、符号反
某行加另一行的 $k$ 倍	换一个等价晶胞取向：晶胞变歪，体积不变
$det A = 0$	三条矢量共面，晶胞塌成一片，密度没有定义

量级：硅的晶格常数 $a = 0.543$ nm，立方晶胞体积 $a^{3} = 0.160$ nm³；一个晶胞含 8 个原子、摩尔质量 28.09 g/mol，密度是 $\frac{8 \times 28.09}{6.022 \times 1 0 ^{23}} \div (0.160 \times 1 0^{- 21}) = 2.33$ g/cm³，与手册值一致。这个数只由一个 $3 \times 3$ 行列式决定。

这个对应在哪里失效：晶胞体积是平行六面体的体积，不是原子实际占的体积，堆积率要另算。温度与压力会改变晶格常数， $det$ 也跟着变。行列式还依赖单位：长度用 Å 而不是 nm，数值要乘 $1 0^{3}$ ，只有「是否为 0」和符号不变。

2. 定义

2.1 三条公理

把 $n \times n$ 矩阵的行记为 $r_{1}, \dots, r_{n}$ 。行列式是满足以下三条的函数：

多线性（multilinear）：固定其它行， $det$ 对某一行线性；
交错（alternating）：交换两行，值变号（等价地，两行相同则为 0）；
归一： $det I_{n} = 1$ 。

注意「多线性」不是对整个矩阵线性： $det (A + B) \neq = det A + det B$ 。

2.2 余子式与按行展开

删掉 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行、第 $j$ 列，剩下 $(n - 1) \times (n - 1)$ 的行列式叫余子式（minor） $M_{ij}$ ；带符号的 $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ 叫代数余子式（cofactor）。沿第 $i$ 行展开：

det A = j = 1 \sum n a_{ij} C_{ij} .

逐项读法：这一行的每个元素，乘以「删掉它所在行列后的行列式」，符号按 $+ - + -$ 的棋盘交替。

2.3 Leibniz 公式与等价性

Leibniz 用排列的奇偶性写出的展开式：

det A = σ \in S_{n} \sum sgn (σ) i = 1 \prod n a_{i, σ (i)} .

读法：每一行挑一个不同列的元素相乘，共有 $n!$ 种挑法； $σ$ 记录「第 $i$ 行挑了第 $σ (i)$ 列」， $sgn (σ)$ 是排列的奇偶性（ $+ 1$ 或 $- 1$ ）。

公理、余子式展开、Leibniz 公式给出同一个数。理由在 §3：把每一行按标准基展开，只有「每行取不同列」的项存活，系数正好是 $sgn (σ)$ 。

3. 为什么这样定义

唯一性：假设 $f$ 满足三条公理。把第 1 行写成标准基的线性组合，用多线性拆开；再拆第 2 行……最终只剩 $n$ 行各取一个不同标准基向量的项。若有两行取到同一个基向量，该行重复，由交错性该项为 0。存活的项恰好对应一个排列 $σ$ ，系数是 $sgn (σ)$ ，于是 $f$ 就是 Leibniz 公式。

所以三条公理唯一确定了有向体积（行列式性质的系统整理见 Horn & Johnson 第 0 章）。乘法定理 $det (A B) = det A det B$ 也由此而来：先做 $B$ 把体积乘 $det B$ ，再做 $A$ 乘 $det A$ ，总共乘 $det A det B$ 。从计算角度看，公理直接给出消元算法：用行变换把矩阵变成三角阵。

3.1 反事实：展开时漏掉 $(- 1)^{i + j}$ 会坏在哪

手写按行展开时，最常见的 bug 是把符号全写成 $+$ ：

det'' A = j \sum a_{1 j} M_{1 j} .

第 0 节那个晶胞矩阵的第一行只有 $a_{11}$ 非零，另外两个系数是 0，所以 $det^{''}$ 碰巧还是 0.108——这正是符号错误能躲过测试的原因。换一个一般的 $3 \times 3$ ：

B = 147258369, det B = 0,

因为 $r_{2} - r_{1} = (3, 3, 3)$ 、 $r_{3} - r_{1} = (6, 6, 6)$ ，三行共面，晶胞体积必须是 0，密度公式的分母也是 0。而

det'' B = 1 \times (- 3) + 2 \times (- 6) + 3 \times (- 3) = - 24.

一个体积为零、物理上不存在的晶胞，被判成 $- 24$ nm³。 负号还会让你在密度公式里得到负质量。

再看 $2 \times 2$ ： $[1324]$ 的正确行列式是 $1 \times 4 - 2 \times 3 = - 2$ ，漏符号得到 $1 \times 4 + 2 \times 3 = 10$ ——符号反了，大小也差 5 倍。

坏在交错性（alternating）：交换两行应当只变号、大小不变；而 $det^{''}$ 把上面这个 $B$ 的前两行交换后得到 $- 120$ ，连大小都变了。丢掉这一条， $det$ 就不再是体积，也不再能判断可逆。

4. 性质与推导

4.1 行变换三规则

操作	$det$ 如何变	原因
交换两行	乘 $- 1$	定向翻转
某行乘 $c$	乘 $c$	体积按比例缩放
某行加另一行的 $k$ 倍	不变	剪切保体积
两行相同或成比例	变为 0	降维

对列做同样的操作，结论一样（因为 $det (A^{⊤}) = det A$ ）。

4.2 行交换为什么变号

二维中，把两行看成向量 $r_{1}, r_{2}$ ，有向面积就是二维叉积：

det [r_{1 x} r_{2 x} r_{1 y} r_{2 y}] = r_{1 x} r_{2 y} - r_{1 y} r_{2 x} .

叉积反对称：交换两个参数，值变号。几何上，平行四边形的形状没变，但从 $r_{1}$ 转到 $r_{2}$ 的方向反了，定向翻转。 $n$ 维中，交换两行等于左乘置换矩阵 $P$ ，而 $det P = - 1$ ，所以 $det (P A) = - det A$ 。

由此还能推出「两行相同则 $det = 0$ 」：交换这两行矩阵不变，但值要变号，故 $det = - det$ ，只能为 0。

4.3 三角阵与消元

上三角阵沿第一列展开（只有 $u_{11}$ 非零）反复进行，得 $det U = u_{11} u_{22} \dots u_{nn}$ 。一般矩阵用带行交换的高斯消元化成 $U$ ，记录交换次数 $s$ ：

det A = (- 1)^{s} i = 1 \prod n u_{ii} .

复杂度 $O (n^{3})$ 。若某一步主元（pivot）为 0 且下方没有非零元素，则 $det A = 0$ 。

4.4 常用推论

$det (A B) = det A det B$ ，但 $det (A + B) \neq = det A + det B$ ； $det (A^{⊤}) = det A$ ； $det (A^{- 1}) = 1/ det A$ ； $det (c A) = c^{n} det A$ （每行都被乘了 $c$ ）。按任意一行或列展开都成立，选零多的那行最省事。

5. 例子

5.1 按行展开：一个完整的 $3 \times 3$

取 $A = 101240356$ ，沿第一行。三个余子式：

M_{11} = 4056 = 24, M_{12} = 0156 = - 5, M_{13} = 0140 = - 4.

代入 $det A = 1 \cdot 24 - 2 \cdot (- 5) + 3 \cdot (- 4) = 24 + 10 - 12 = 22$ 。换一列验证：沿第二列， $C_{12} = 5$ 、 $C_{22} = 3$ 、 $C_{32} = - 5$ ，于是 $2 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + 0 \cdot (- 5) = 22$ ，一致。

5.2 消元法：同一个矩阵

用 $R_{3} \leftarrow R_{3} - R_{1}$ （倍加，不改变 $det$ ）得 $100 24 - 2 353$ 。按第一列展开， $det = 1 \cdot (4 \cdot 3 - 5 \cdot (- 2)) = 22$ 。

再消一步 $R_{3} \leftarrow R_{3} + \frac{1}{2} R_{2}$ ，对角元为 $1, 4, 5.5$ ，乘积也是 22。两种方法结果相同，但消元只需 $O (n^{3})$ 。

5.3 三角阵与乘法定理

$T = 200340517$ 的 $det = 2 \cdot 4 \cdot 7 = 56$ 。

取 $A = [1324]$ （ $det = - 2$ ）、 $B = [2103]$ （ $det = 6$ ）。则 $A B = [410612]$ ， $det (A B) = 48 - 60 = - 12 = (- 2) \cdot 6$ 。

5.4 场景：判断协方差矩阵是否接近奇异

一个 $1000 \times 1000$ 的协方差矩阵，元素量级 $1 0^{- 3}$ ， $det$ 可能是 $1 0^{- 3000}$ ：直接算会下溢成 0，和真正的奇异分不清。实际做法不是「算 $det$ 看是否为 0」，而是看 LU 的主元、最小奇异值或条件数。

5.5 场景闭环： $100 \times 100$ 的行列式，从输入到决策

输入：把第 0 节的晶胞模型扩成 100 个自由度的形变矩阵，得到一个 $100 \times 100$ 的矩阵（也可以是流模型里 $D = 100$ 的 Jacobian）。双精度，占 $100 \times 100 \times 8 = 80$ KB，能塞进二级缓存。

计算：三条路线的时间差不是几倍，是天文数字。

方法	运算量	单核 1 GFLOP/s 下
Leibniz 公式	$100! \approx 9.33 \times 1 0^{157}$ 项	$9.3 \times 1 0^{149}$ 秒
余子式递归展开	同一量级	同上
带主元 LU	$\frac{2}{3} n^{3} \approx 6.7 \times 1 0^{5}$ 次乘加	$0.67$ ms

按每秒一亿项算， $100!$ 项要 $9.3 \times 1 0^{149}$ 秒；宇宙年龄约 $4.35 \times 1 0^{17}$ 秒，还差 $1 0^{132}$ 倍。这不是「慢一点」，是永远算不完。 记一个熟悉的锚点： $20! \approx 2.4 \times 1 0^{18}$ 项，每秒一亿项也要 770 年——20 维就已经不可行。

输出：选 LU，输出 $det A = (- 1)^{s} \prod_{i} u_{ii}$ ；要密度或似然就再取对数， $lo g ∣ det A ∣ = \sum_{i} lo g ∣ u_{ii} ∣$ 。一次分解 0.67 ms，一天 86 400 秒能算约 $1.3 \times 1 0^{8}$ 次，足够放进训练循环。

成本：0.67 ms 与 80 KB 内存。同样的矩阵若用 Leibniz，花多少钱都算不完——这就是 $O (n!)$ 与 $O (n^{3})$ 的真实含义。

失败条件：

近奇异：三斜晶胞接近共面时主元可能小到 $1 0^{- 12}$ ， $det$ 下溢成 0，密度分母为 0。兜底：看主元比值或条件数，不要只问「 $det$ 是否为 0」。
不选主元：主元为 0 时消元直接除零。兜底：部分选主元，并记录交换次数 $s$ 的符号。
忘记绝对值： $det$ 为负时密度为负。兜底：体积、密度入口统一取 $∣ det ∣$ ，并断言为正。

6. 常见误区

误区： $det (A + B) = det A + det B$ 。纠正：取 $A = I_{2}$ 、 $B = - I_{2}$ ，左边 $det 0 = 0$ ，右边 $1 + 1 = 2$ 。 $det$ 是多线性的，不是可加的。
误区： $det (c A) = c det A$ 。纠正：每一行都被乘了 $c$ ， $n \times n$ 矩阵要乘 $c^{n}$ 。例如 $det (2 I_{3}) = 8$ 。
误区：消元时「把某行乘 $c$ 」也不改变 $det$ 。纠正：只有「某行加另一行的倍数」不变；乘 $c$ 会让 $det$ 乘 $c$ ，交换会让它变号。手算时要记录这两类操作。
误区：Leibniz 公式里 $σ$ 是「列 $i$ 对应行 $σ (i)$ 」也无所谓。纠正： $σ (i)$ 是「第 $i$ 行取的列号」。索引写反会改变符号；按行展开的 $(- 1)^{i + j}$ 也来自同一套排列符号。

7. 概念网络

前置：5.1 行列式几何 —— $det$ 是体积缩放因子，负号是定向。
后续：5.3 逆与 Cramer 法则 —— 用余子式构造伴随矩阵。
后续：5.4 行列式与 Jacobian —— 非线性版本的体积缩放。
关联：1.7 叉积 —— 二维行列式就是二维叉积。
关联：6.2 特征多项式 —— $det (A - λ I)$ 的根是特征值。
关联：3.5 高斯消元与 LU —— 消元过程同时给出 $det$ 与解方程。

8. 通往大模型： $lo g ∣ det ∣$ 而不是 $det$

出现位置：归一化流的训练目标、多元高斯密度、以及任何「判断大矩阵是否可逆」的代码。

形状： $J \in R^{D \times D}$ ， $D$ 常是 512、1024 甚至更大。 $det J$ 是一个标量，但它的大小随 $D$ 指数变化。

为什么需要：流模型要算 $lo g p (x) = lo g p_{Z} (z) - lo g ∣ det J ∣$ （ $J = \partial x / \partial z$ ）。若先算 $det$ 再取对数： $D = 1000$ 、每维缩放 $0.1$ 时， $det = 1 0^{- 1000}$ ，float64 直接下溢为 0， $lo g$ 得到 $- \infty$ ；若每维缩放 $10$ ，则上溢为 inf。

正确做法是 LU 分解后对对角元取对数求和：

lo g ∣ det A ∣ = i = 1 \sum n lo g ∣ u_{ii} ∣.

NumPy 的 np.linalg.slogdet 返回 (sign, logabsdet)，正是这个思路。 $D = 1000$ 、对角全为 $0.1$ 时，它给出 sign=1.0、logabsdet≈-2302.585，而 np.linalg.det 返回 0.0。

可检验结论：用 det 判断可逆性在数值上不可靠；det 小不等于病态（ $0.1 I_{100}$ 的 $det = 1 0^{- 100}$ ，条件数为 1）。工程上判断「是否接近奇异」要看条件数或最小奇异值，算似然要用 slogdet。

算错时下游看到什么：用 det 判断可逆， $D = 1000$ 、元素量级 $1 0^{- 3}$ 的协方差矩阵很可能下溢成 0，被判成奇异，下游的 Cholesky 分解或采样会直接抛错、返回 NaN；若符号弄反， $lo g det$ 在实数域没有定义，loss 一次前向就变 NaN。

9. 练习

概念：判断正误并说明理由：(a) $det (A + B) = det A + det B$ ；(b) $det (A B) = det A det B$ ；(c) $det (c A) = c det A$ ；(d) 交换两行变号；(e) 某行加另一行的倍数不变；(f) $det (A^{⊤}) = det A$ 。
计算：用按行展开求 $det 105216340$ ，再用行变换验算。
计算： $B = 210121012$ ，求 $det B$ 、 $det (2 B)$ 、 $det (B^{- 1})$ 、 $det (B^{⊤} B)$ 。
计算：用消元求 $det 012210113$ ，注意记录行交换带来的符号。
开放：为什么数值软件用 LU 消元而不是 Leibniz 公式或余子式展开？从复杂度和浮点误差两个角度回答。

参考答案

(a) 错， $A = I, B = - I$ 时左边 0、右边 2；(b) 对；(c) 错，应为 $c^{n} det A$ ；(d) 对，定向翻转；(e) 对，剪切保体积；(f) 对，转置不改变行列式。
沿第一行： $1 (1 \cdot 0 - 4 \cdot 6) - 2 (0 \cdot 0 - 4 \cdot 5) + 3 (0 \cdot 6 - 1 \cdot 5) = - 24 + 40 - 15 = 1$ 。行变换： $R_{3} \leftarrow R_{3} - 5 R_{1}$ 得 $100 21 - 4 34 - 15$ ， $det = 1 \cdot (1 \cdot (- 15) - 4 \cdot (- 4)) = - 15 + 16 = 1$ 。
$det B = 2 (4 - 1) - 1 (2 - 0) = 4$ ； $det (2 B) = 2^{3} \cdot 4 = 32$ ； $det (B^{- 1}) = 1/4$ ； $det (B^{⊤} B) = 4^{2} = 16$ 。
交换 $R_{1}, R_{2}$ 得 $102120113$ ， $det$ 乘 $- 1$ 。再 $R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1}$ 得 $100 12 - 2 111$ ，其 $det = 1 (2 \cdot 1 - 1 \cdot (- 2)) = 4$ 。原矩阵 $det = - 4$ 。
Leibniz 有 $n!$ 项， $n = 20$ 已不可行；余子式展开递归也是指数级。LU 是 $O (n^{3})$ ，且带主元选取，误差约为 $cond (A) \cdot ϵ$ 量级；代价是可能丢失「精确为 0」的判断，需要配合秩/奇异值检查。

10. 一页速记

三条公理：多线性、交换变号、 $det I = 1$ ；它们唯一确定行列式。
物理意义 / 现实对应： $det$ 是晶胞体积——密度公式的分母；符号记录晶轴取向（右手或左手）。
行变换：交换变号、某行乘 $c$ 乘 $c$ 、倍加不变；两行成比例则 $det = 0$ 。
三角阵 $det = \prod u_{ii}$ ；消元后 $det A = (- 1)^{s} \prod u_{ii}$ ， $O (n^{3})$ 。
按行展开 $det A = \sum_{j} a_{ij} (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ；Leibniz 有 $n!$ 项。
$det (A B) = det A det B$ ， $det (c A) = c^{n} det A$ ， $det (A^{⊤}) = det A$ 。
大矩阵算似然用 $lo g ∣ det ∣$ （slogdet / LU 对角元），别直接连乘。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

Knobloch（Eberhard Knobloch, 2001）：Déterminants et élimination chez Leibniz。依据 Leibniz 1693 年写给 l’Hôpital 的信，还原了他用排列的奇偶性写出 $n!$ 项带符号和的过程——本页第 2.3 节的 Leibniz 公式即源于此。Revue d’histoire des sciences
Horn & Johnson（Roger A. Horn & Charles R. Johnson, 2012）：Matrix Analysis（2nd ed.）。第 0 章系统整理了余子式展开、乘积定理以及行列式的多线性与交错性，对应本页第 2、3 节。Cambridge University Press
Golub & Van Loan（Gene H. Golub & Charles F. Van Loan, 2012）：Matrix Computations（4th ed.）。用带主元的高斯消元把 $det$ 化成 $(- 1)^{s} \prod_{i} u_{ii}$ ，并说明大矩阵为何要在对数域累加 $lo g ∣ u_{ii} ∣$ ；本页第 4.3 节与第 8 节的算法依据。Johns Hopkins University Press

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随堂测 · 5 题

数值难度 2第 1 / 5 题

A = 101240356

，按第一行展开求

det A

。

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