5.3 逆、Cramer 法则与伴随矩阵

本节位置：模块 5 · 行列式｜前置：3.4 逆矩阵、5.2 ｜预计：30 分钟

一句话：把余子式转置拼成伴随矩阵，再除以行列式，就得到逆；Cramer 法则只是这个公式逐分量写开。

0. 场景引入

周三下午，一家期权做市商要接下某银行一笔 5 000 万美元的结构化票据。票据在 3 个月后的三个利率情景下各有一笔应付现金流（占名义的百分比）：

b = (0.12, 0.05, 0.12)^{⊤} .

交易台只能用三样工具对冲：现金（三个情景都付 $1.00$ ）、看涨期权（付 $0.00, 0.05, 0.20$ ）、看跌期权（付 $0.20, 0.05, 0.00$ ）。把三样工具的现金流按列排成 $3 \times 3$ 矩阵 $P$ ，问题变成：是否存在仓位 $x$ 使 $P x = b$ ？

$det P = 0.0200 \neq = 0$ ，解唯一。Cramer 法则给出 $x = (- 0.02, 0.70, 0.70)$ ：每 1 美元名义：现金腿借入 2 分钱（ $- 0.02$ ）、买 7 毛看涨、7 毛看跌。

决策：按这个精确复制方案报价，还是因为三条腿的交易成本（每条 5 bp，合计 15 bp，约 7.5 万美元）拒单？

代价：不先算 $det$ 就硬做，碰到两个工具现金流几乎成比例的退化情形（ $det$ 掉到 $1.5 \times 1 0^{- 5}$ ），同样的目标现金流要求仓位从 0.70 放大到 900 多，杠杆和滑点会吃掉全部报价；真正 $det = 0$ 时根本没有唯一复制方案，报价单上的比率只是拍脑袋，剩下的 3% 名义敞口在极端行情里就是 150 万美元。

读完本节，你应该能回答三件事：

为什么 $det P \neq = 0$ 才能保证「唯一复制」， $det = 0$ 时缺的是什么？
伴随矩阵为什么能拼出逆，Cramer 法则和它是什么关系？
交易台每天报上千笔价，为什么不用 Cramer 而用 LU？

1. 直觉

逆矩阵（inverse matrix）是「撤销变换」。在 5.1 里， $A$ 把体积放大 $∣ det A ∣$ 倍；那么 $A^{- 1}$ 就该把它缩回去，所以分母出现 $det A$ 并不意外。

伴随矩阵（adjugate） $adj (A)$ 可以理解为「余子式的转置」：每个元素记录「删掉某行某列后，剩下的变换把体积放大几倍」。把 $adj (A)$ 除以 $det A$ ，体积因子正好抵消。

Cramer 法则（Cramer’s rule）则是逐分量的版本：要求 $x_{i}$ ，就把 $A$ 的第 $i$ 列换成 $b$ ，算一个行列式，再除以 $det A$ 。

💡 一句话直觉：逆 = 伴随 / 行列式；Cramer = 用「替换一列后的体积」读出每个坐标。

类比边界：这个直觉只在 $A$ 可逆时成立； $det A = 0$ 时体积已经被压成 0，没有「缩回去」的操作。

1.1 它在现实世界里对应什么

交易台上，逆矩阵是一张复制表：给我任意一个目标现金流，我告诉你要买多少现金、多少看涨、多少看跌。

数学对象	交易台上的对应物
列	一个工具在三个情景下的现金流
$det P$	三个工具张成的「情景空间」体积；为 0 说明有工具是多余的
$adj (P)$	每种工具对每个情景的边际复制权重
$P^{- 1}$	从目标现金流反推仓位
$det P$ 很小	工具几乎共线，仓位对报价极度敏感

量级：三条腿的 $3 \times 3$ 矩阵， $det P = 0.0200$ 。把看涨的现金流从 $(0, 0.05, 0.20)$ 改成 $(0, 0.0501, 0.2001)$ ——两个工具只差 1 个基点—— $det$ 掉到 $1.5 \times 1 0^{- 5}$ ，小了 1 333 倍；复制同一笔现金流，仓位从 0.70 变成 933.8。同一个交易台，1 bp 的输入差别换来 1 300 倍的杠杆。

这个对应在哪里失效：它假设情景有限、工具现金流固定、可以无限分割且没有摩擦。真实对冲是连续时间的，有 gamma、vega、流动性与保证金； $det$ 只说明线性化之后局部有没有唯一解，不说明这笔对冲在真实市场里扛不扛得住。

2. 定义

2.1 余子式与代数余子式

删掉 $a_{ij}$ 所在的行、列，得到 $(n - 1) \times (n - 1)$ 的余子式（minor） $M_{ij}$ ；带符号的 $C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ 叫代数余子式（cofactor）。按行展开： $det A = \sum_{j} a_{ij} C_{ij}$ 。

2.2 伴随矩阵

伴随矩阵（adjugate） 定义为代数余子式矩阵的转置： $adj (A)_{ij} = C_{j i} = (- 1)^{i + j} M_{j i}$ 。注意下标是 $j i$ 不是 $ij$ ：第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，来自「删掉第 $j$ 行第 $i$ 列」的余子式。

2.3 逆矩阵公式

若 $det A \neq = 0$ ，则 $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} adj (A)$ 。

2.4 Cramer 法则

设 $A x = b$ ， $A$ 可逆。把 $A$ 的第 $i$ 列换成 $b$ ，记作 $A_{i}$ ，则 $x_{i} = det A_{i} / det A$ （ $i = 1, \dots, n$ ）。

2.5 可逆判据

对 $n \times n$ 矩阵 $A$ ，下列条件等价： $det A \neq = 0$ ； $A$ 可逆； $rank (A) = n$ （列、行线性无关）；零空间只有 $0$ （ $A x = b$ 对任意 $b$ 有唯一解）； $0$ 不是 $A$ 的特征值。

3. 为什么这样定义

3.1 $A adj (A) = det (A) I$

看第 $i$ 行与 $adj (A)$ 第 $i$ 列的内积： $\sum_{k} a_{ik} adj (A)_{k i} = \sum_{k} a_{ik} C_{ik} = det A$ ，最后一步正是沿第 $i$ 行的余子式展开。

再看第 $i$ 行与第 $j$ 列（ $i \neq = j$ ）的内积： $\sum_{k} a_{ik} C_{j k}$ 。这等于把 $A$ 的第 $j$ 行换成第 $i$ 行后的行列式；此时两行相同，值为 0。于是

A adj (A) = det (A) I_{n} .

同理 $adj (A) A = det (A) I_{n}$ 。两边除以 $det A$ 即得逆矩阵公式。

3.2 Cramer 法则从哪来

由 $x = A^{- 1} b = adj (A) b / det A$ ，第 $i$ 个分量为 $x_{i} = \frac{1}{d e t A} \sum_{j} adj (A)_{ij} b_{j} = \frac{1}{d e t A} \sum_{j} C_{j i} b_{j}$ 。右边分子正好是 $A_{i}$ 沿第 $i$ 列的展开： $A_{i}$ 的第 $i$ 列是 $b$ ，其余列与 $A$ 相同。这就是 Cramer 法则。

3.3 反事实：伴随矩阵不转置会坏在哪

取 $A = [3212]$ ， $det A = 3 \times 2 - 1 \times 2 = 4$ ，代数余子式矩阵

C = [2 - 1 - 2 3] .

正确的伴随矩阵是 $C^{⊤} = [2 - 2 - 1 3]$ ， $A C^{⊤} = 4 I$ 。如果把逆定义成 $C / det A$ （不转置），这个「逆」乘以 $A$ 得到

A \cdot \frac{C}{4} = \frac{1}{4} [52 - 3 2] \neq = I .

拿它当 $A^{- 1}$ 去解 $A x = (5, 4)^{⊤}$ ，得到 $x = \frac{C}{4} b = (0.5, 1.75)^{⊤}$ 。代回原方程，第一行 $3 \times 0.5 + 1.75 = 3.25 \neq = 5$ ：目标现金流是 5，复制出来的只有 3.25，约 35% 的敞口没被覆盖。

一个「逆」乘回去得不到单位阵，解出的仓位连自己写下的现金流都对不上。交易台上这叫复制表算错了，风控一验算就发现。

Cramer 法则同理： $x_{i}$ 的分子是「把第 $i$ 列换成 $b$ 后的行列式」，这个「换列」正是转置的来源。少了转置，分子里的余子式对不上被替换的那一列，比值就不再是原方程的解。

4. 性质与推导

4.1 常用恒等式

$adj (A B) = adj (B) adj (A)$ ；
$det (adj A) = (det A)^{n - 1}$ ；
$adj (adj A) = (det A)^{n - 2} A$ （ $n \geq 2$ ）；
对 $2 \times 2$ ： $adj [a c b d] = [d - c - b a]$ 。

4.2 复杂度与数值稳定性

Cramer 法则要算 $n + 1$ 个行列式。每个若按 Leibniz 是 $O (n!)$ ；即使每个都用消元，也是 $O (n^{4})$ ，而 LU 解方程只要 $O (n^{3})$ 。

数值上更糟：行列式可能极大或极小，计算中有大量相消；解的相对误差大致被条件数（condition number） $cond (A)$ 放大。实际软件用带主元的 LU（或 QR、SVD），Cramer 只作为理论工具和 $2 \times 2$ 、 $3 \times 3$ 的闭式公式。

4.3 为什么理论上有价值

Cramer 明确显示：每个 $x_{i}$ 都是 $b$ 的线性函数，系数是 $det A_{i} / det A$ 。做灵敏度分析、证明解的唯一性、推导伴随矩阵性质时，这种显式表达很方便。

5. 例子

5.1 手算： $2 \times 2$ 的逆与 Cramer

A = [3112], det A = 5, adj (A) = [2 - 1 - 1 3], A^{- 1} = \frac{1}{5} [2 - 1 - 1 3] .

验算 $A A^{- 1} = I$ ：第一行乘第一列 $(6 - 1) /5 = 1$ ，第一行乘第二列 $(- 3 + 3) /5 = 0$ ，其余同理。

解 $A x = (5, 5)^{⊤}$ 。Cramer： $det A_{1} = 5512 = 5$ ，所以 $x = 1$ ； $det A_{2} = 3155 = 10$ ，所以 $y = 2$ 。与消元结果一致。

5.2 手算： $3 \times 3$ 的伴随与逆

A = 101210011, det A = 1 (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 2 (0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + 0 = 3.

九个代数余子式排成

C = 1 - 2 2 11 - 1 - 1 21, adj (A) = C^{⊤} = 11 - 1 - 2 12 2 - 1 1 .

于是 $A^{- 1} = \frac{1}{3} 11 - 1 - 2 12 2 - 1 1$ 。验算 $A adj (A) = 3 I$ ：例如第一行乘第一列 $1 + 2 + 0 = 3$ ，第一行乘第二列 $- 2 + 2 + 0 = 0$ 。

5.3 手算： $3 \times 3$ 的 Cramer

仍用上面的 $A$ ，取 $b = (1, 0, 0)^{⊤}$ 。把 $b$ 换到第 1 列：

A_{1} = 100210011, det A_{1} = 1.

换到第 2 列得 $det A_{2} = 1$ ，换到第 3 列得 $det A_{3} = - 1$ 。因此

x = \frac{1}{3} (1, 1, - 1)^{⊤} .

代回验证：第一行 $1/3 + 2/3 = 1$ ；第二行 $1/3 - 1/3 = 0$ ；第三行 $1/3 - 1/3 = 0$ 。

5.4 场景闭环：100 个情景、100 个工具、每天 1 000 笔报价

输入：真实做市台不会只有 3 个情景。假设一笔奇异期权按 100 个市场情景（利率 × 波动率网格）分解，可交易工具也是 100 个，现金流矩阵 $P \in R^{100 \times 100}$ ，双精度占 $100 \times 100 \times 8 = 80$ KB。每个情景的目标现金流是一列 $b$ 。

计算：三条路线。

方法	运算量	1 GFLOP/s 下
Cramer（101 个行列式，每个用 LU）	$101 \times \frac{2}{3} n^{3} \approx 6.7 \times 1 0^{7}$	67 ms
一次 LU + 100 次回代	$\frac{2}{3} n^{3} + 100 \times 2 n^{2} \approx 2.7 \times 1 0^{6}$	2.7 ms
显式求逆再乘	$2 n^{3} \approx 2 \times 1 0^{6}$ （误差更大）	2 ms

按每天 1 000 笔报价算：Cramer 要 67 秒，LU 只要 2.7 秒。Cramer 的 $O (n^{4})$ 在这里第一次变成「报价来不及」的实际问题。

输出：仓位向量 $x$ ，外加两个风控数字——残差 $∥ P x - b ∥$ 与条件数 $cond (P)$ 。若 $cond (P) > 1 0^{6}$ ，交易台拒单或加价。

成本：2.7 ms 与 80 KB；67 ms 的版本在 1 000 笔/天时还能忍，但报价窗口是每批 200 ms，Cramer 一次就吃掉三分之一。

失败条件：

近奇异：两个工具现金流差 1 bp， $det$ 从 0.0200 掉到 $1.5 \times 1 0^{- 5}$ ，仓位放大 1 333 倍，保证金与滑点吃掉全部价差。兜底：看 $cond$ 或最小奇异值，不只看 $det$ 。
条件数大： $det$ 正常但 $cond$ 很大（例如 $diag (100, 0.01)$ 的 $det = 1$ 、 $cond = 1 0^{4}$ ），解对输入扰动敏感。兜底：带主元的 LU 加残差检验。
量纲或符号：现金流用百分比还是小数、卖空是否记为负——错一次，仓位差 100 倍。兜底：入参统一量纲，并断言 $det \neq = 0$ 。

6. 常见误区

误区： $adj (A)$ 就是代数余子式矩阵 $C$ 。纠正：还要转置， $adj (A) = C^{⊤}$ 。用 $2 \times 2$ 检查： $C = [d - b - c a]$ ，转置后才得到 $[d - c - b a]$ 。
误区： $det A$ 很小就说明 $A$ 接近奇异、逆很大。纠正： $0.1 I_{100}$ 的 $det = 1 0^{- 100}$ ，但逆是 $10 I_{100}$ ，条件数为 1。尺度会改变 $det$ ，不改变条件数。
误区：Cramer 法则对任何线性方程组都能用。纠正：只适用于方阵且 $det A \neq = 0$ 。超定、欠定或奇异系统要用最小二乘、伪逆或消元。
误区：逆矩阵的元素就是余子式除以 $det A$ 。纠正：位置是转置的。写错转置是 $3 \times 3$ 手算最常见的错误；用 $A adj (A) = det (A) I$ 验算最稳。

7. 概念网络

前置：5.1 行列式几何 —— $det$ 是体积缩放， $det = 0$ 表示降维。
前置：5.2 行列式的性质与计算 —— 余子式展开是伴随矩阵的零件。
后续：5.4 行列式与 Jacobian —— 逆映射的 Jacobian 是 $J^{- 1}$ 。
关联：3.4 逆矩阵 —— 逆的消元算法与这里的分式公式互为验证。
关联：4.4 最小二乘 —— 不可逆时用伪逆代替逆。
关联：4.6 条件数 —— $det$ 小不等于病态，判稳定性看条件数。
关联：9.2 多元高斯—— 协方差逆与 $lo g det$ 出现在密度里。

8. 通往大模型：高斯密度与流模型里的「逆」

出现位置：多元高斯（multivariate Gaussian）的对数密度、归一化流的似然、以及任何要「解一个线性系统」的层。

形状：协方差 $Σ \in R^{D \times D}$ ， $D$ 可能是 512 或 4096；精度矩阵 $Σ^{- 1}$ 同样大小。

公式：

lo g p (x) = - \frac{D}{2} lo g (2 π) - \frac{1}{2} lo g det Σ - \frac{1}{2} (x - μ)^{⊤} Σ^{- 1} (x - μ) .

为什么不用 Cramer： $D = 4096$ 时，Cramer 要 4097 个 $4096 \times 4096$ 行列式，复杂度 $O (D^{4})$ ，且数值极不稳定。实际用 Cholesky 分解 $Σ = L L^{⊤}$ ： $lo g det Σ = 2 \sum_{i} lo g L_{ii}$ ，解 $L z = x - μ$ 后算 $∥ z ∥^{2}$ ，全程 $O (D^{3})$ 且不用显式求逆。

可检验结论：取 $Σ = diag (4, 9)$ ， $lo g det Σ = lo g 36 \approx 3.584$ ，在均值处的密度是 $1/ (2 π \cdot 6) = 1/ (12 π) \approx 0.0265$ 。若把 $Σ$ 换成 $0.01Σ$ ， $det$ 缩小 $1 0^{- 4}$ ，密度放大 $1 0^{4}$ ——这正是「 $det$ 依赖尺度」的直观版本。

算错时下游看到什么：若拿 $det$ 当可逆性判据， $D = 4096$ 、元素量级为 1 的协方差矩阵在 float64 里可能下溢成 0，Cholesky 分解直接失败；若 $lo g det Σ$ 算错一个常数，密度整体被缩放，似然比较与采样权重全部失真。工程上表现为训练 loss 变 NaN，或采样点全部挤在均值附近。

9. 练习

概念：为什么 $adj (A)$ 要转置？用 $2 \times 2$ 的 $C$ 与 $adj (A)$ 说明。
计算： $A = [2513]$ 。求 $det A$ 、 $A^{- 1}$ ，并解 $A x = (4, 7)^{⊤}$ 。
计算： $B = 210121012$ 。求 $det B$ 、 $adj (B)$ 、 $B^{- 1}$ ，并验证 $B adj (B) = 4 I$ 。
计算：用 Cramer 法则解 $B x = (1, 2, 3)^{⊤}$ （ $B$ 同上）。
开放：既然 Cramer 法则有闭式解，为什么数值库不实现它？从复杂度、稳定性、适用范围三个角度回答。

参考答案

因为逆矩阵第 $i$ 行第 $j$ 列要用「删掉第 $j$ 行第 $i$ 列」的余子式，索引自然转置。 $2 \times 2$ 中 $C = [d - b - c a]$ ，而 $adj (A) = [d - c - b a]$ ；不转置的话 $A C \neq = (det A) I$ ，而 $A C^{⊤} = (det A) I$ 才成立。
$det = 6 - 5 = 1$ ； $A^{- 1} = [3 - 5 - 1 2]$ ； $x = A^{- 1} (4, 7)^{⊤} = (12 - 7, - 20 + 14)^{⊤} = (5, - 6)^{⊤}$ 。验证 $A (5, - 6) = (4, 7)$ 。
$det B = 2 (4 - 1) - 1 (2 - 0) = 4$ ； $adj (B) = 3 - 2 1 - 2 4 - 2 1 - 2 3$ ； $B^{- 1} = \frac{1}{4} adj (B)$ ； $B adj (B) = 4 I$ 。
$det B_{1} = 2$ ， $det B_{2} = 0$ ， $det B_{3} = 6$ ，所以 $x = (2, 0, 6) /4 = (1/2, 0, 3/2)^{⊤}$ 。验证： $B x = (1, 2, 3)^{⊤}$ 。
复杂度： $n + 1$ 个行列式，每个 $O (n^{3})$ ，共 $O (n^{4})$ ，而 LU 是 $O (n^{3})$ 。稳定性：行列式容易上溢/下溢且相消严重，误差被 $cond (A)$ 放大。适用范围：只对方阵且 $det \neq = 0$ 有效；超定/欠定要用最小二乘或伪逆。它适合教学与 $2 \times 2$ 、 $3 \times 3$ 闭式推导。

10. 一页速记

$C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}$ ； $adj (A) = C^{⊤}$ ，下标是 $j i$ 。
物理意义 / 现实对应：逆矩阵是复制表——体积因子 $1/ det A$ 把目标空间的一单位体积换回源空间；Cramer 用「替换一列后的体积」读出每个坐标。
$A^{- 1} = adj (A) / det A$ ，且 $A adj (A) = det (A) I$ 。
Cramer： $x_{i} = det (A_{i}) / det A$ ， $A_{i}$ 把第 $i$ 列换成 $b$ 。
可逆 $⟺ det \neq = 0 ⟺$ 满秩 $⟺$ 零空间为 ${0}$ 。
Cramer 是 $O (n^{4})$ 且数值不稳；实际用 LU/QR/SVD。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

Horn & Johnson（Roger A. Horn & Charles R. Johnson, 2012）：Matrix Analysis（2nd ed.）。把伴随矩阵、 $A adj (A) = det (A) I$ 与 $A^{- 1} = adj (A) / det A$ 作为行列式的标准推论给出，本页第 2、3 节沿这条路线推导。Cambridge University Press
Golub & Van Loan（Gene H. Golub & Charles F. Van Loan, 2012）：Matrix Computations（4th ed.）。带主元的 LU 解 $A x = b$ 只要 $O (n^{3})$ ，并给出前向/后向误差与条件数的关系——本页第 4.2 节「Cramer 只作理论工具」的工程依据。Johns Hopkins University Press
Higham（Nicholas J. Higham, 2002）：Accuracy and Stability of Numerical Algorithms（2nd ed.）。系统分析了线性系统求解中的相消、上溢下溢与条件数放大，是第 4.2 节「误差被 $cond (A)$ 放大」的定量版本。SIAM

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随堂测 · 4 题

数值难度 2第 1 / 4 题

A = [3112]

，

b = (5, 5)^{⊤}

。用 Cramer 法则解

A x = b

，求第二个分量

x_{2}

。

没思路？看原文

源文件：05-行列式/03-逆与Cramer法则.md