M003 篇概念12 道题

M00 · 准备：数学语言

这一模块不教新定理，只教你「读懂数学」和「看懂形状」。 如果跳过它，后面每一篇都会多花一倍时间。

为什么先学这个

线性代数教材默认你已经习惯这些符号： $\sum_{i = 1}^{n}$ 、 $x \in R^{n}$ 、 $f : R^{n} \to R^{m}$ 、 $A^{⊤}$ 。但离开学校多年后，真正卡住人的往往不是概念，而是符号。

更现实的是：大模型代码里到处是形状 [B, T, D]、[B, H, T, T]。读不懂形状，就看不懂 attention；看不懂 attention，就读不懂推理过程。

本模块解决三件事：

flowchart LR A[0.1 为什么是线性代数] --> B[0.2 数学语言] B --> C[0.3 标量/向量/矩阵/张量] C --> D[M01 向量与几何]

顺序	文档	时间	读完你应该能……
1	0.1 为什么大模型的母语是线性代数	25 min	用一句话说清 forward pass 里线性代数在哪
2	0.2 数学语言：集合、映射与求和符号	35 min	逐字读出一条含 $\sum$ 的公式
3	0.3 标量、向量、矩阵、张量：按轴理解	30 min	看到 `[B,T,D]` 能说出每个轴的含义

自测答案

$f (a x + b y) = 2 (a x + b y) = a (2 x) + b (2 y) = a f (x) + b f (y)$ ； $g (x) = x + 1$ 时 $g (a x + b y) = a x + b y + 1$ ，而 $a g (x) + b g (y) = a x + b y + a + b$ ，多出 $a + b - 1$ 。
$a_{11} b_{1} + a_{12} b_{2} + a_{21} b_{1} + a_{22} b_{2} + a_{31} b_{1} + a_{32} b_{2}$ 。
3 个轴；第 2 个轴长度 5；交换第 1、2 轴后是 [5, 2, 8]。
$4096 \times 4096 + 4096 \approx 16.78$ M。每层 attention 的四个投影约 $4 D^{2}$ ，FFN 约 $8 D^{2}$ ，合计 $12 D^{2}$ ，乘层数 $L$ 。