M09 · 概率与统计核心约 35 分钟

9.1 概率与随机变量：从样本到分布

本节位置：模块 9 · 概率与统计｜前置：1.4 范数与距离｜预计：35 分钟

一句话：分布是生成数据的规则，样本是规则吐出的一张牌；期望和方差用两个数概括牌堆的中心与胖瘦。

0. 场景引入

一家电商的实验平台每周同时跑 40 个 A/B 实验。这周要判的是「一键下单」改版：210 万用户随机对半分，对照组 105 万人转化率 4.31%，实验组 105 万人转化率 4.34%。

差 0.03 个百分点，折算成订单是 315 单。可按二项分布估算，即使两组真实转化率完全相同，这个差值本身的波动（标准差）也有 0.028 个百分点，约 295 单——信号只比噪声高一点点， $z$ 约为 1.1。

产品经理要在 24 小时内决定：立刻全量上线，还是再等一周把样本翻倍？如果效应是真的，每天多 315 单、客单价 180 元，一年约 2 070 万元；如果它是噪声，上线后要回滚、发版、培训客服，代价远不止等一周少赚的 40 万元。

他手里只有一个数：两个转化率之差。要判断它是不是真的，先得把「一个用户会不会下单」看成随机变量，把 210 万次曝光看成样本，再用期望与方差说清楚「差多少才算不一样」。

读完你能回答的三个问题：

4.34% 与 4.31% 的差，正常波动有多大？
为什么能用 105 万个样本的方差，去代替「全体用户」的方差？
如果同时看转化率与客单价，协方差告诉你什么？

1. 直觉

一维直方图里，均值（mean） 是点云重心，方差（variance） 是绕重心的转动惯量。二维点云则多了一个「往哪斜」的信息：

左：正相关，点云沿右上方向拉长；右：负相关，沿右下方向拉长

图：虚线是两维各自的均值。同向偏离时协方差为正，反向为负；点云接近正圆时接近 0。

同向偏离时协方差为正，反向为负，云团像正圆时接近 0。

💡 一句话直觉：方差量点云有多胖，协方差量点云往哪个斜方向胖。

1.1 它在现实世界里对应什么

回到实验平台。那些抽象符号在这里都有一张具体的脸：

数学对象	A/B 实验里的对应物
随机变量 $X$	一个用户「是否下单」，取值 0 或 1
分布 $p (x)$	全体用户的下单倾向，由真实转化率 $p$ 决定
样本均值 $\hat{μ}$	105 万人的实测转化率 4.34%
方差 $σ^{2} = p (1 - p)$	用户之间的差异：伯努利变量的方差
标准误（standard error） $σ / n$	这个 4.34% 自身的抖动，约 $0.028$ 个百分点
协方差 $Cov (X, Y)$	「下单」与「客单价」是否同涨同落

均值是「这批人的典型表现」，方差是「个体之间的分歧有多大」，而样本量 $n$ 决定「把分歧平均掉之后还剩多少抖动」。三者合起来，才构成「可信」这个词的数学内容。

量级直觉（经验值）： $p \approx 4%$ 、 $n = 1 0^{6}$ 时，标准误 $p (1 - p) / n \approx 0.02$ 个百分点。也就是说，转化率这个数字写到小数点后第二位就开始抖了；想分辨 0.01 个百分点的提升，样本量要再加一个数量级。

1.2 这个类比在哪里失效

均值和方差只描述前两阶信息。两个双峰分布可以有相同的均值和方差，形状却完全不同；完整描述需要整个概率函数。

第二个失效点更要紧：A/B 实验里「样本独立」这个前提常被破坏。同一台手机会下两单、同一个家庭的两个账号会一起收到优惠券、社交裂变会让实验组互相影响——这时真实的方差比二项公式大， $σ / n$ 会把噪声低估，你算出的 $z$ 就虚高。公式没错，是那条「独立同分布」的假设在这里断了。

2. 定义

2.1 随机变量与分布

随机变量（random variable） 是映射 $X : Ω \to R$ 。离散情形用概率质量函数（probability mass function, pmf） $p (x) = Pr (X = x)$ ，满足 $p (x) \geq 0$ 、 $\sum_{x} p (x) = 1$ ；连续情形用概率密度函数（probability density function, pdf） $f (x) \geq 0$ 、 $\int f (x) d x = 1$ 。注意 $f (x)$ 可以大于 1，只有积分才是概率。

2.2 期望、方差、标准差

期望（expectation） $E [X] = \sum_{x} x p (x)$ （离散）或 $\int x f (x) d x$ （连续）；方差（variance） $Var (X) = E [(X - E [X])^{2}] = E [X^{2}] - E [X]^{2}$ 。这里 $σ_{X} = Var (X)$ 是标准差（standard deviation），与 $X$ 同单位；后一个等号是计算时最常用的形式。

2.3 协方差与相关系数

两个随机变量的协方差（covariance）：

Cov (X, Y) = E [(X - E [X]) (Y - E [Y])] = E [X Y] - E [X] E [Y]

读法：各自减去均值再相乘求期望。相关系数（correlation coefficient） $ρ_{X Y} = Cov (X, Y) / (σ_{X} σ_{Y}) \in [- 1, 1]$ 去掉了量纲。

对随机向量 $x = (X_{1}, \dots, X_{D})^{⊤}$ ，协方差矩阵（covariance matrix） $Σ = E [(x - μ) (x - μ)^{⊤}]$ ，其中 $Σ_{ij} = Cov (X_{i}, X_{j})$ 。对角元是各维方差， $Σ = Σ^{⊤}$ 。

2.4 样本估计

\hat{μ} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n x_{i}, \hat{Σ} = \frac{1}{n - 1} i = 1 \sum n (x_{i} - \hat{μ}) (x_{i} - \hat{μ})^{⊤}

式中前者是样本均值（sample mean），后者是样本协方差（sample covariance）；分母 $n - 1$ 使 $E [\hat{Σ}] = Σ$ （无偏）；除以 $n$ 是最大似然估计，样本多时几乎一样。

2.5 大数定律

大数定律（law of large numbers）：若 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 独立同分布、期望 $μ$ 、方差有限，则样本均值依概率收敛： $\overset{ˉ}{X}_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} P μ$ 。这就是「样本多时频率稳定」的数学版本，保证上面的估计在 $n$ 变大时靠谱。

3. 为什么这样定义

协方差为什么减 $E [X] E [Y]$ ？ 不减的话， $E [X Y]$ 会把两个变量各自的整体水平算进去。身高体重都为正， $E [X Y]$ 天然很大，却不说明相关；减去均值后只看「同时偏离中心」的部分。

为什么用平方而不是绝对值？ 平方可导、与欧氏几何一致，还带来可加性：不相关时方差直接相加。绝对值是另一种风险度量，但在 0 点不可导。

为什么协方差矩阵半正定？ 把中心化样本堆成 $X_{c} \in R^{n \times D}$ ，则 $\hat{Σ} = \frac{1}{n - 1} X_{c}^{⊤} X_{c}$ ，是 Gram 矩阵（第 2.7 节）。于是它半正定，且 $rank (\hat{Σ}) \leq min (n - 1, D)$ 。样本数少于维度时，协方差必然奇异——这条事实后面反复出现。

为什么除 $n - 1$ ？ $\hat{μ}$ 来自同一批数据，用掉一个自由度：离差满足 $\sum_{i} (x_{i} - \overset{μ}{^}) = 0$ ， $n$ 个离差只有 $n - 1$ 个自由。除以 $n - 1$ 正好补偿。

3.1 反事实：不减均值、或者不用平方，会坏在哪

反事实 A：直接用 $E [X Y]$ 当「关联度」，不减均值。

取 $X \in {1, 3}$ 、 $Y \in {1, 3}$ （可以想成「价格档位」与「成交量档位」），比较三种搭配：

搭配	$E [X Y]$	$E [X] E [Y]$	协方差
同向 $(1, 1), (3, 3)$ 各 $1/2$	$5$	$4$	$+ 1$
独立四种组合各 $1/4$	$4$	$4$	$0$
反向 $(1, 3), (3, 1)$ 各 $1/2$	$3$	$4$	$- 1$

三个 $E [X Y]$ 只差 $\pm 1$ ，而 $4$ 这个「整体水平」占了八成的份量。若 $Y$ 改用「分」而不是「元」， $E [X Y]$ 整体放大 100 倍，差值也跟着放大——判读结果完全取决于量纲。减掉均值后， $+ 1, 0, - 1$ 才干净地只说出「同向、无关、反向」。

反事实 B：用绝对值的期望 $E ∣ X - μ_{X} ∣ ∣ Y - μ_{Y} ∣$ 代替协方差。

取 $X \in {- 1, 0, 1}$ 等概率、 $Y = X^{2}$ ，则 $E [Y] = 2/3$ 、 $E [X] = 0$ ：

Cov (X, Y) = E [X^{3}] - E [X] E [X^{2}] = 0

但绝对值版本给出

E [∣ X ∣ ∣ X^{2} - 2/3 ∣] = \frac{1}{3} (\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{3}) = \frac{2}{9} \approx 0.222 > 0

真相是 $Y$ 完全由 $X$ 决定，协方差却报 0，绝对值版本报「有关联」。两个都不算错，各有各的用途：绝对值版本对非线性依赖更敏感，但它不再双线性，于是 $Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)$ 这条可加性直接作废——而后者正是误差按平方和累加的全部基础。这就是协方差为什么必须是「乘起来再求期望」：只有双线性，才能被矩阵和矩阵分解接管，才有后面 9.2、9.3、9.4 的整条链。

4. 性质与推导

4.1 期望的线性性

$E [a X + bY + c] = a E [X] + b E [Y] + c$ 。这条不需要独立性，是概率里最容易被低估的工具。

4.2 方差公式

$Var (X) = E [(X - μ)^{2}] = E [X^{2}] - 2 μ E [X] + μ^{2} = E [X^{2}] - μ^{2}$ 。

4.3 协方差的双线性

$Cov (a X + bY, Z) = a Cov (X, Z) + b Cov (Y, Z)$ ，且 $Cov (X, X) = Var (X)$ 。于是 $Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)$ ：只有不相关时方差才直接相加，这就是误差按平方和累加的来源。

4.4 协方差矩阵半正定

对任意 $a$ ， $a^{⊤} Σ a = E [(a^{⊤} (x - μ))^{2}] \geq 0$ ，它正是标量 $a^{⊤} x$ 的方差。等号成立当且仅当数据在 $a$ 方向上没有波动。

4.5 相关系数的范围

对中心化变量用柯西–施瓦茨不等式（第 1.3 节）： $∣ Cov (X, Y) ∣ \leq σ_{X} σ_{Y}$ ，故 $∣ ρ ∣ \leq 1$ 。 $ρ = 1$ 表示 $Y$ 是 $X$ 的正线性函数， $- 1$ 表示负线性函数；非线性依赖可以做到 $ρ = 0$ 。

4.6 无偏性与收敛

由 $\sum_{i} (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} = \sum_{i} (X_{i} - μ)^{2} - n (\overset{ˉ}{X} - μ)^{2}$ ，取期望得 $n σ^{2} - n \cdot σ^{2} / n = (n - 1) σ^{2}$ 。所以除以 $n - 1$ 后期望正好是 $σ^{2}$ 。又 $Var (\overset{ˉ}{X}) = σ^{2} / n \to 0$ ，切比雪夫不等式给出依概率收敛。

5. 例子

5.1 手算：一个联合分布

设 $X \in {0, 1, 2}$ ，概率 $0.2, 0.5, 0.3$ ，令 $Y = X^{2}$ ：

$x$	0	1	2
$p (x)$	0.2	0.5	0.3
$y = x^{2}$	0	1	4

$X$ 的矩： $E [X] = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1$ ， $E [X^{2}] = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7$ ，故 $Var (X) = 1.7 - 1.21 = 0.49$ 。

$Y$ 的矩： $E [Y] = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7$ ， $E [Y^{2}] = 0 + 0.5 + 4.8 = 5.3$ ，故 $Var (Y) = 5.3 - 2.89 = 2.41$ 。

协方差：

E [X Y] = E [X^{3}] = 0 + 0.5 + 2.4 = 2.9, Cov (X, Y) = 2.9 - 1.1 \cdot 1.7 = 1.03, ρ_{X Y} = \frac{1.03}{0.49 \cdot 2.41} \approx 0.948

$Y$ 完全由 $X$ 决定，相关系数却只有 $0.948$ ： $Y = X^{2}$ 不是线性函数， $ρ$ 只捕捉线性部分。

5.2 手算：样本方差为什么除 $n - 1$

样本 $(1, 2, 4)$ ： $\overset{x}{ˉ} = 7/3 \approx 2.333$ ，离差 $- 4/3, - 1/3, 5/3$ ，平方和 $= 14/3$ 。于是 $s^{2} = \frac{14/3}{2} = \frac{7}{3} \approx 2.333$ ，除以 $n$ 则得 $\frac{14/3}{3} = \frac{14}{9} \approx 1.556$ 。比值 $3/2 = n / (n - 1)$ ； $n = 1000$ 时只差 0.1%。

5.3 场景：一层激活的协方差

$D = 4096$ 、 $n = 8000$ ， $\hat{Σ}$ 是 $[4096, 4096]$ ，共 $16, 777, 216$ 个数，fp32 下 64 MiB。对角元是各维方差（该特征活不活跃），非对角元是两维是否同涨同落。若 $ρ_{ij} = 0.3$ ，只有中等线性同步；相关不等于冗余，更不等于因果。

5.4 场景闭环：210 万人、一次上线决策

把开头那场实验从头算到尾。

输入：两组各 $1, 050, 000$ 条曝光记录，每条只需 (group:int8, converted:int8, gmv:float32)，共 $2.1 \times 1 0^{6} \times 6 B \approx 12.6 MB$ 。扫描一遍是 $O (n)$ 的，单核十几毫秒。

计算：两组转化率之差

\hat{Δ} = \overset{p}{^}_{1} - \overset{p}{^}_{0} = 0.0434 - 0.0431 = 0.0003

标准误按两组独立、二项方差 $\overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^})$ 估：

se (\hat{Δ}) = \frac{2 p ^ ( 1 - p ^ )}{n} = \frac{2 \times 0.0431 \times 0.9569}{1.05 \times 1 0 ^{6}} \approx 2.8 \times 1 0^{- 4}

于是 $z = \hat{Δ} / se \approx 1.07$ ，95% 置信区间

0.0003 \pm 1.96 \times 0.00028 = [- 0.00025, 0.00085]

这个式子说的是：真实效应可能为负——区间跨过了 0。

输出：决策是「不显著，不上线；把样本跑到下周」。下周每组样本翻倍， $se$ 按 $1/ 2$ 降到约 $0.020$ 个百分点；若真实效应真是 0.03 个百分点，届时 $z$ 会升到约 1.5，还不够；要到每组 400 万人才比较稳（按 $Δ/ se \geq 2$ 反解 $n \approx 2 \overset{p}{^} (1 - \overset{p}{^}) (2/Δ)^{2} \approx 3.7 \times 1 0^{6}$ ）。

第二件事：同时看客单价 $Y$ 。若 $Cov (下单, 客单价) \approx - 12$ 元，读法是「下单的人客单价平均低了 12 元」——转化率涨 0.03 个百分点带来的人，可能被客单价的下滑抵消掉，这时该看的是 GMV 而不是转化率。

成本：12.6 MB 访存、一遍 $O (n)$ 求和，十几毫秒。若改用逐日 bootstrap 1000 次重采样来估 $p$ 值，代价是 $1000 \times 2.1 \times 1 0^{6} \approx 2 \times 1 0^{9}$ 次抽样，分钟级——这也是为什么线上平台默认用解析公式而不是重采样。

失败条件与兜底：

用户不独立：同一人多设备、家庭共享账号、社交裂变，会让真实方差大于二项公式， $z$ 虚高。兜底：按用户聚类做 delta method，或用 cluster bootstrap。
多重比较：一周 40 个实验、每个看 3 个指标，就是 120 次检验；在 5% 水平下期望 6 个假阳性。兜底：Bonferroni 收紧阈值，或改用 FDR 控制。
偷看与早停：每天看一次、显著就停，会让假阳性率从 5% 涨到 20% 以上（可选停止偏差）。兜底：事先定样本量与检验时点。
指标不独立：转化率与客单价协方差非零时，单指标决策会漏掉另一边的损失。兜底：把 GMV 作为唯一主指标，或做多指标联合检验。

6. 常见误区

误区：协方差为 0 就是独立。纠正：只说明没有线性关系。取 $X$ 在 ${- 1, 0, 1}$ 均匀、 $Y = X^{2}$ ，则 $Cov (X, Y) = E [X^{3}] - E [X] E [X^{2}] = 0$ ，但 $Y$ 完全由 $X$ 决定。只有联合高斯时，不相关才等价于独立。
误区：样本协方差就是真实协方差。纠正：它是估计量，本身有波动； $n$ 个样本的协方差秩不超过 $n - 1$ ， $n < D$ 时必然奇异。
误区：方差可以直接相加。纠正： $Var (X + Y) = Var (X) + Var (Y) + 2 Cov (X, Y)$ ，不相关时后一项才消失。
误区：相关系数 0.9 说明强因果或高度冗余。纠正：它只说明线性同向程度，可能有共同原因或数据泄漏。

7. 概念网络

前置：1.4 范数与距离 —— 方差是中心化向量长度平方的平均。
前置：6.5 二次型与正定 —— $a^{⊤} Σ a$ 是二次型，非负即半正定。
后续：9.2 多元高斯 —— 用 $μ, Σ$ 完整描述一类分布。
后续：9.3 PCA —— 对 $Σ$ 做特征分解，找方差最大的方向。
后续：9.4 白化 —— 把 $Σ$ 变成单位阵。
关联：11.11 logits、softmax、温度 —— 从 logits 到采样分布。

8. 通往大模型：激活统计与采样

出现位置：每层激活的协方差、LayerNorm 的均值/方差、参数初始化的方差推导，以及从 logits 采样下一个 token。

形状：隐藏状态 $X \in R^{B \times T \times D}$ ，摊平成 $N = B T$ 个样本； $\hat{μ} \in R^{D}$ ， $\hat{Σ} \in R^{D \times D}$ 。 $D = 4096$ 时 $\hat{Σ}$ 有 1677 万个数（fp32 64 MiB）； $N < D$ 时它必然奇异。

为什么需要：线性层 $y = W x$ 在独立假设下 $Var (y_{i}) = \sum_{j} W_{ij}^{2} Var (x_{j})$ 。取 $W_{ij} \sim N (0, 1/ D)$ 、输入方差 1，输出方差约 1；若误用 $N (0, 1)$ ， $D = 4096$ 时输出方差约 4096，深网络会指数爆炸。LayerNorm 则直接除以当前 token 的标准差。

可检验结论：用 $n$ 个样本估计均值的误差量级是 $σ / n$ ； $σ = 1, n = 1000$ 时约 3.2%，这解释了大 batch 的统计为什么更稳。

import numpy as np
rng = np.random.default_rng(0)
X = rng.normal(size=(8000, 4096))          # [N, D]
mu = X.mean(axis=0)                         # [D]
Xc = X - mu
Sigma = Xc.T @ Xc / (len(X) - 1)            # [D, D]
print(Sigma.shape, np.trace(Sigma) / 4096)  # 平均方差 ≈ 1

采样温度： $p_{i} \propto exp (z_{i} / T)$ 。 $T \to 0$ 退化为 one-hot（贪心）， $T \to \infty$ 趋于均匀。温度改变的是概率质量集中的范围，不是 logits 的方差；这正好接上 9.2 与 11.11。

如果这一步算错，下游看到什么现象：均值、方差这类统计量出错，通常不会报错，只会让下游悄悄变差。

忘记减均值直接算二阶矩 $X^{⊤} X / n$ ：PCA 的第一主成分会偏到「均值方向」，散点图上所有样本得分同号，看起来「结构很强」，其实是整体偏移。
初始化时把方差写成标准差（或漏掉 $1/ D$ ）： $D = 4096$ 的线性层输出方差会差 4 096 倍，深网络的 loss 在前几十步就出现尖峰或直接 NaN。
用 $1/ n$ 与 $1/ (n - 1)$ 混用：解释方差比不受影响（比值的常数约掉了），但重建误差与似然阈值会差 $n / (n - 1)$ 倍，跨模型比较时会出现「同样的数据，两个脚本给出两个误差」。

这些错误的共同特征是：数值都有限、曲线都连续，只有指标在慢慢偏。所以排查时要先对齐统计量的定义，再怀疑模型。

9. 练习

概念：一句话区分「概率分布」与「样本」，并说明 3 个样本为什么估不出 4096 维协方差。
计算： $X \in {1, 2, 3}$ ，概率 $0.2, 0.5, 0.3$ ，令 $Y = 2 X + 1$ 。求 $E [X], Var (X), Cov (X, Y), ρ_{X Y}$ 。
计算：样本 $(2, 4, 6)$ ，分别用 $n - 1$ 与 $n$ 作分母求方差。
场景： $n = 100$ 、 $D = 4096$ 时样本协方差的秩最多是多少？哪些下游计算会失效？
开放：举一个「协方差为 0 但明显不独立」的例子，并说明激活维度「不相关」为什么不能当作「信息不重叠」。

参考答案

分布是生成样本的规则，样本是按规则抽出的点。3 个样本的中心化矩阵秩最多 2，协方差秩也最多 2，远小于 4096。
$E [X] = 2.1$ ， $E [X^{2}] = 4.9$ ， $Var (X) = 0.49$ ； $Cov (X, Y) = 2 Var (X) = 0.98$ ， $ρ = 1$ 。
均值 4，离差平方和 8； $s^{2} = 8/2 = 4$ ，除以 $n$ 得 $8/3 \approx 2.667$ 。前者无偏。
秩 $\leq 99$ 。 $\hat{Σ}$ 不可逆，密度没有定义；PCA 最多 99 个非零方向；白化、马氏距离、高斯似然都失效。
$X$ 在 ${- 1, 0, 1}$ 均匀、 $Y = X^{2}$ 。不相关只说明没有线性同步，仍可能通过非线性方式共享信息。

10. 一页速记

分布是规则，样本是抽样；用 $\hat{μ}, \hat{Σ}$ 从样本估计分布。
物理意义 / 现实对应：均值是点云重心，方差是绕重心的转动惯量；在实验平台上，它们就是「实测转化率」和「这个数字自身的抖动」，单位分别是「个」和「个²」。
$Var (X) = E [X^{2}] - E [X]^{2}$ ， $Cov (X, Y) = E [X Y] - E [X] E [Y]$ 。
$\hat{Σ} = \frac{1}{n - 1} X_{c}^{⊤} X_{c}$ 是 Gram 矩阵，半正定，秩 $\leq min (n - 1, D)$ 。
$ρ \in [- 1, 1]$ 只测线性关系；不相关不等于独立。
大数定律： $\overset{ˉ}{X}_{n} \to μ$ ，误差量级 $σ / n$ 。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

柯尔莫哥洛夫（Andrey N. Kolmogorov, 1933）：Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung。把概率论建立在测度论公理之上，本页的随机变量 $X : Ω \to R$ 、期望与分布都在这个框架里定义。Springer（DOI）
皮尔逊（Karl Pearson, 1896）：Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia。把相关系数与回归做成可计算的统计量，本页 $ρ_{X Y} = Cov (X, Y) / (σ_{X} σ_{Y})$ 的归一化定义沿用的就是这条线。Royal Society（DOI）
柯西（Augustin-Louis Cauchy, 1821）：Cauchy’s Cours d’analyse: An Annotated Translation（原著 Cours d’analyse de l’École royale polytechnique，1821）。柯西–施瓦茨不等式的有限和形式出自这部讲义；本页用它证明 $∣ ρ_{X Y} ∣ \leq 1$ 。英译注本（Springer, 2009）

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随堂测 · 4 题

数值难度 2第 1 / 4 题

样本

(1, 2, 4)

的样本方差（分母取

n - 1

）是多少？保留三位小数。

没思路？看原文

源文件：09-概率与统计/01-概率与随机变量.md