2.5 坐标与基变换

本节位置：模块 2 · 向量空间 ｜ 前置：2.4 ｜ 预计：35 分钟

一句话：同一个向量换一组基，就像同一个人换一套身份证——本质没变，坐标变了；线性映射也会随之换一套矩阵表示。

0. 场景引入

一台 1200 万像素的相机：$4000\times 3000$，每像素 RGB 各 8 bit。一帧原始数据是

而 30 fps 连拍要在 33 ms 内把它压到 2 MB 以内写进存储卡——压缩比 18:1。

压缩的核心动作只有一件事：换基。先把 RGB 换成 YCbCr（3 个通道改成「亮度 + 两个色差」），再把每个 $8\times 8$ 小块用 64 个 DCT 基向量重新描述。换完之后，64 个系数里通常只有 6～10 个显著，其余接近 0，砍掉几乎看不见损失。

同一张图，两套坐标，信息量一样，可压缩性差了一个数量级。

更麻烦的是它必须实时。存储卡只有 4 GB，连拍 200 张就是 $200\times 36\text{MB}=7.2\text{GB}$，写不下。所以不能先存原始帧再离线压——换基这一步必须发生在图像进内存的那几十毫秒里。

这里有一个必须当场做的决定：质量因子取 75（约 2 MB）还是 90（约 4 MB，画质更保真）。33 ms 的预算只够前者。

问题：换基为什么不会改变图像本身？哪些量在换基后不变、哪些会变？为什么偏偏是 DCT 这组基能让系数变稀疏？

读完本节，你应该能回答三件事：

1. 坐标、基、变换矩阵三者是什么关系？
2. 换基时哪些性质属于「映射」，哪些只是「这套坐标的偶然」？
3. 把换基的方向搞反，代价有多大？

1. 直觉

想象你在描述一个地点：

• 用「东/北」坐标：$(3,4)$；
• 把坐标轴旋转 45°，改用「东北/西北」：坐标变成 $(\frac{7}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}})$。

地点没动，只是「尺子」换了。

💡 一句话直觉：换基 = 换一套尺子；坐标是「相对尺子的读数」，向量本身不变。

图：同一个 $\mathbf{x}=(1.2,1.0)$ 在标准基下读作 $(1.2,1.0)$，在 $\mathcal{B}=\{(1,0.5),(-0.5,1)\}$ 下读作 $(1.36,0.32)$。灰色是标准网格，橙色与绿色是 $\mathcal{B}$ 的两组网格线。

类比边界：在抽象向量空间（如多项式空间）里，没有肉眼可见的「地点」，但「坐标随基变、元素不变」的逻辑完全一样。

1.1 它在现实世界里对应什么

同一张城市地图，一个路口可以用经纬度写，也可以用「沿主路向东 300 m、再向北 200 m」写。两串数字完全不同，指的是同一个路口——这就是换基：同一个对象，换一套「读数尺子」。

JPEG 就是这么干的。像素坐标里，一张图的能量撒在 64 个位置上；DCT 坐标里，能量挤在少数几个低频系数上。向量没变，是「你在哪套轴上读它」变了。

量级直觉：一个 $8\times 8$ 的 DCT 块有 64 个系数，自然图像里通常只有 6～10 个显著（经验值）。也就是说 85% 以上的坐标可以被抹掉，而这是「换基」本身带来的，不是压缩算法带来的——先换基，才有东西可砍。

1.2 这个类比在哪里失效

换基保持的是线性结构：加法、数乘、可逆性、维数。它不保持的东西同样重要：

• 不保持稀疏性——稀疏是「向量 + 基」共同的性质，换个基就不稀疏了；
• 不保持内积和长度——除非新基是标准正交基（§4.2 的不变量清单里没有范数，就是这个原因）；
• 不保持「简单」——DCT 基对自然图像简洁，对文本嵌入就没这本事。

所以「换一个可解释的基」从来不是免费的理解工具：你只是在挑一套让某些结构显形的坐标，同时让另一些结构藏起来。

2. 定义

2.1 坐标向量

设 $\mathcal{B}=\{{\mathbf{b}}_1,\dots ,{\mathbf{b}}_n\}$ 是 $V$ 的基。对 $\mathbf{v}\in V$，唯一系数 $c_i$ 使 $\mathbf{v}=\sum c_i{\mathbf{b}}_i$，称

为 $\mathbf{v}$ 在基 $\mathcal{B}$ 下的坐标。

2.2 基变换矩阵

设 $\mathcal{B}$ 和 $\mathcal{C}$ 是同一空间的两组基。从 $\mathcal{C}$ 到 $\mathcal{B}$ 的基变换矩阵 $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ 的第 $j$ 列是 $[{\mathbf{c}}_j{]}_{\mathcal{B}}$，即

若两组基都写成矩阵（列是基向量）$B=[{\mathbf{b}}_1\cdots ]$、$C=[{\mathbf{c}}_1\cdots ]$，则

2.3 相似矩阵

设 $T:V\to V$ 是线性映射，在基 $\mathcal{B}$ 下的矩阵为 $A_{\mathcal{B}}$，在基 $\mathcal{C}$ 下的矩阵为 $A_{\mathcal{C}}$，则

称 $A_{\mathcal{B}}$ 与 $A_{\mathcal{C}}$ 相似（similar）。相似矩阵描述同一个线性映射在不同基下的样子。

这正是 Halmos 的坐标映射观点：基是「读数系统」，换基只换读数，不换映射。

3. 为什么这样定义

如果换基后坐标不按这个规则变，那么「同一个向量」在两套坐标下会指向不同结果，线性映射的复合也会错位。

矩阵相似的定义也是被迫的：我们希望「先换到 $\mathcal{C}$、做变换、再换回 $\mathcal{B}$」与「直接在 $\mathcal{B}$ 里做」结果一致：

合起来就是 $A_{\mathcal{B}}=P{A}_{\mathcal{C}}{P}^{-1}$。

注意方向：这里 $P=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ 把 $\mathcal{C}$ 坐标送到 $\mathcal{B}$ 坐标。若你习惯把「列是新基向量」的矩阵直接记作 $P$（第 6 章求特征向量时的用法），那个 $P$ 是 $P_{\mathcal{E}\leftarrow \mathcal{B}}$，公式会写成 $A_{\mathcal{B}}=P^{-1}{A}_{\mathcal{C}}P$。两种写法只是 $P$ 的方向相反，不要混用。

3.1 反事实：把换基矩阵的方向搞反

取 $\mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}$、$\mathbf{v}=(3,1)$。正确坐标满足 $\mathbf{v}=B[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}$，解出 $(2,1{)}^{\top }$，验证 $2(1,1)+1(1,-1)=(3,1)$。

如果手滑，直接算 $B\mathbf{v}$：

把 $(4,2)$ 当成坐标代回去：$4(1,1)+2(1,-1)=(6,2)$。同一个点被画到了另一个地方，差了一倍。

更麻烦的是误差会被基的「歪斜程度」放大。取一组几乎共线的基 ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{(1,0.9),(1,0.91)\}$，基矩阵的行列式是

用错方向时，误差大致按 $1/|\det |=100$ 倍放大。放到相机里：本来肉眼看不出的一次舍入，换完基变成整片色斑。

一眼可见的结论：换基不是「乘个矩阵」，方向错了就是另一个变换。

4. 性质与推导

4.1 坐标变换公式

若 $B$ 的列是基 $\mathcal{B}$ 在标准基下的坐标，则对标准坐标 $\mathbf{v}$：

4.2 相似不变量

相似矩阵有相同的：

• 特征值（第 6.1 节）；
• 行列式；
• 迹；
• 秩；
• 特征多项式。

这些量描述的是线性映射本身，与基无关。反过来，这些量相同不保证相似。

这份清单在 Axler 里由迹与行列式的性质统一推出。

4.3 换基的方向

$P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ 把 $\mathcal{C}$ 坐标变成 $\mathcal{B}$ 坐标；反过来

方向搞反是常见错误。记忆法：下标「从右往左读」。

5. 例子

5.1 手算：求坐标

$\mathcal{B}=\{(1,1),(1,-1)\}$，$\mathbf{v}=(3,1)$。

验证：$2(1,1)+1(1,-1)=(3,1)$。

5.2 手算：换基后的矩阵

标准基下 90° 旋转：

在 $\mathcal{B}$ 下：

验证不变量：$\det A=1=\det A_{\mathcal{B}}$，$\mathrm{tr}A=0=\mathrm{tr}{A}_{\mathcal{B}}$。

5.3 场景：PCA 就是换基

PCA 找到一组新基（主成分方向），把数据投影过去。新基下，协方差矩阵近似对角，各维「不相关」。数据本身没变，只是换了一套更「省地方」的坐标（第 9.3 节）。

5.4 场景闭环：36 MB 进，2 MB 出

输入：$4000\times 3000\times 3$ 的 uint8 图像，36 MB。切成 $8\times 8$ 块：每通道 $500\times 375=187,500$ 块，三通道共 562,500 块。

计算：

1. RGB→YCbCr：每像素 9 次乘加，$1.2\times 10^7\times 9\approx 1.08\times 10^8$ 次；
2. 每块二维 DCT：可分离成两次 8 点 DCT，快速算法约 512 FLOP/块，$562,500\times 512\approx 2.9\times 10^8$ FLOP；
3. 量化 + 熵编码：查表处理 $3.6\times 10^7$ 个系数。

输出：质量因子 $Q=75$ 时，平均每块只有 6～10 个非零系数，熵编码后约 2 MB。同一场景用 $Q=90$，非零系数翻倍，文件约 4 MB，超出存储预算。

成本：$Q=75$ 下计算约 $4\times 10^8$ 次乘加/浮点运算。单核 10 GFLOP/s 估约 40 ms——已经超过 33 ms 的帧预算，所以相机里 DCT 必须走专用硬件或 SIMD/GPU，纯软件实现只能降分辨率或降帧率。内存侧：一整帧 36 MB 放不进 L2，必须分条带流水，每块 64 个系数只占 256 B（fp32）。

失败条件：

• 块效应：8×8 块独立处理，块边界不连续。$Q$ 越低越明显，用户看到「马赛克格子」。兜底：提高 $Q$，或用重叠变换 / 去块滤波。
• 色度下采样：4:2:0 把色度分辨率减半，红蓝边缘发糊。人眼对亮度更敏感，这个损失通常可接受。
• 方向搞反或矩阵写错：整幅画面偏色、出现色斑（见 3.1）。

6. 常见误区

1. 误区：换基会改变向量/线性映射。 纠正：改变的是坐标表示；向量与映射本身不变。

2. 误区：$P$ 和 $P^{-1}$ 可以随便放。 纠正：方向决定结果。记住 $[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{C}}$，以及 $A_{\mathcal{B}}=P{A}_{\mathcal{C}}{P}^{-1}$（$P=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$）。

3. 误区：特征值会随基改变。 纠正：相似矩阵特征值相同；这正是特征值属于「映射」而非「矩阵表示」的原因。

4. 误区：任意两组基之间的变换矩阵都是正交矩阵。 纠正：只有两组基都标准正交时，$P$ 才正交；一般基的 $P$ 只是可逆矩阵。

7. 概念网络

• 前置：2.4 基与维数 —— 坐标的定义。
• 后续：6.3 对角化 —— 找一组基让矩阵变成对角。
• 后续：6.4 谱定理 —— 正交基下的对称矩阵。
• 后续：9.3 PCA —— 数据换基。
• 关联：11.2 线性层 —— 权重矩阵在特征基下的解释。

8. 通往大模型：换基思维能解释什么

1. 权重旋转不变性：若把隐藏空间用一个正交矩阵 $Q$ 旋转，且同时把相邻层的权重按 $Q^{\top }WQ$ 变换，模型输出不变。这说明「哪些维度」本身不重要，重要的是方向之间的关系。可解释性研究常利用这一点寻找更可读的基。

2. 特征基与叠加：模型可能用一组非正交的「特征方向」表示概念。换到特征基下，激活可能变得稀疏、可解释；在标准基下则看起来密集、嘈杂。

3. PCA/白化：把激活换到主成分基，再白化，可以让不同方向尺度一致，便于分析或训练（第 9.4 节）。

可检验结论：正交换基保持内积与范数：$\Vert Q\mathbf{x}\Vert =\Vert \mathbf{x}\Vert$，$⟨Q\mathbf{x},Q\mathbf{y}⟩=⟨\mathbf{x},\mathbf{y}⟩$。所以旋转隐藏空间不会改变余弦相似度。

如果这一步算错，用户会看到什么：工程上最常见的错法不是「换错基」，而是只换了一半——把某一层权重按 $Q^{\top }WQ$ 转了，却没把它的输入也按 $Q$ 转。语法上照跑不误（形状一致、不报错），实际上等于在错误的坐标系里读数据。用户侧的现象是：图像整体偏绿或偏紫（色彩空间换基写错），或者模型 loss 不降、输出退化成重复短语（权重旋转换了一半）。同一类 bug 在推理侧表现为「模型换了个量化版本后个别类别系统性出错」——不是精度掉了，是坐标错位了。

9. 练习

1. 概念：为什么相似矩阵有相同的特征值？用 $A_{\mathcal{B}}=PA{P}^{-1}$ 说明。
2. 计算：$\mathcal{B}=\{(2,1),(1,3)\}$，求 $\mathbf{v}=(5,5)$ 的 $\mathcal{B}$ 坐标。
3. 计算：$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right]$，$P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$，求 $P^{-1}AP$，并验证迹与行列式不变。
4. 场景：如果两组基都是标准正交基，$P$ 有什么特殊性质？此时 $P^{-1}$ 等于什么？
5. 开放：为什么「换一个可解释的基」可能帮助理解模型，但也可能制造错觉？

10. 一页速记

• 坐标依赖基：$\mathbf{v}=B[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}$，$[\mathbf{v}{]}_{\mathcal{B}}=B^{-1}\mathbf{v}$。
• 物理意义 / 现实对应：同一段音乐的五线谱与频谱；JPEG 里 64 个 DCT 系数只留 6～10 个。
• 基变换矩阵 $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}=B^{-1}C$，把 $\mathcal{C}$ 坐标变成 $\mathcal{B}$ 坐标。
• 同一映射在不同基下相似：$A_{\mathcal{B}}=P{A}_{\mathcal{C}}{P}^{-1}$，其中 $P=P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$。
• 相似不变量：特征值、行列式、迹、秩；范数与稀疏性不在其中。
• 正交换基保内积、保范数、保余弦。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

• 哈尔莫斯（Paul R. Halmos, 1958）：Finite-Dimensional Vector Spaces（1958 年初版，Springer 1974 年重印）。把「选一组基」讲成坐标映射，并用它推出同一线性变换在不同基下的矩阵相似；本页 2.2–2.3 的 $P_{\mathcal{B}\leftarrow \mathcal{C}}$ 与 $A_{\mathcal{B}}=P{A}_{\mathcal{C}}{P}^{-1}$ 就是这套语言的坐标写法。Springer 重印本
• 阿克斯勒（Sheldon Axler, 2015）：Linear Algebra Done Right（第 3 版）。系统处理基变换矩阵与相似不变量（迹、行列式、特征多项式），本页 4.2 的不变量清单可以在它的「迹与行列式」一章找到依据。Springer

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