M07 · SVD进阶约 35 分钟

7.4 伪逆、数值秩与条件数

本节位置：模块 7 · SVD ｜前置：4.5、7.2 ｜预计：35 分钟

一句话：伪逆就是「沿每个奇异方向取倒数」，但小奇异值不能取倒数——什么时候算「小」，由数值秩和条件数决定。

0. 场景引入

放射科要重建一张 512×512 的 CT 切片： $51 2^{2} = 262, 144$ 个未知像素，而扫描只有 180 个角度 × 512 个探测器，共 $92, 160$ 个方程——方程比未知数少，问题本身欠定。

CT 的方程组是 $A x = b$ ； $A$ 既不是方阵，也谈不上可逆，solve 在这里连调用都不合法。你想找一个统一写法，把「方程比未知数多」「少」「刚好但病态」三种情况一次处理掉。

更麻烦的是病态：探测器噪声约 0.5%，而系统矩阵的最小奇异值只有最大奇异值的 $1 0^{- 6}$ 量级。伪逆要沿每个奇异方向除以 $σ_{i}$ ，最坏方向上 $0.5%$ 的噪声会被放大 $1 0^{6}$ 倍，重建图上是放射状条纹，不是解剖结构。

你要决定截断阈值 $τ$ 取多少。取小了，条纹压不住；取大了，钙化点和小裂纹一起被抹平——「看起来干净」比「有噪声」更危险。每张切片的重建按秒计，病人还在扫描床上，没时间让你试十组参数。

读完你能回答三个问题：

伪逆 $A^{+} = V Σ^{+} U^{⊤}$ 怎样用一个公式同时处理超定、欠定和秩亏？
为什么「多小算小」不能用一个绝对常数回答？
截断伪逆为什么有时比精确逆更接近真解？

1. 直觉

$A$ 在奇异坐标系里就是「沿 $v_{i}$ 乘 $σ_{i}$ ，送到 $u_{i}$ 」。想反解就沿原路除回去，于是

A^{+} b = σ_{i} > 0 \sum \frac{u _{i}^{⊤} b}{σ _{i}} v_{i}

$σ_{i}$ 很小时 $1/ σ_{i}$ 很大： $b$ 里一点噪声会被放大成巨大的解分量。这就是病态的几何图像——某个方向几乎被压扁，反解时就要把它撑开。

💡 一句话直觉：伪逆 = 沿可逆方向精确反演 + 沿太扁的方向放弃；放弃的标准是「 $σ_{i}$ 是否大于阈值」。

1.1 它在现实世界里对应什么

把 CT 重建想成「把每个方向的压缩比倒过来」：

数学对象	CT 里的对应物
$x$	512×512 的衰减系数图，262,144 个未知数
$b$	180 个角度 × 512 个探测器的读数，92,160 个方程
$σ_{i}$	第 $i$ 个图案在投影数据里的可见度
$1/ σ_{i}$	反演这个图案时的放大倍数
$τ$	低于它就当看不见，直接丢掉

$σ_{i}$ 大，说明这个图案在投影里对比度高，反演可靠； $σ_{i}$ 小，说明它几乎被压平，要除以一个很小的数才能撑回来，噪声也跟着被撑大。伪逆做的就是「沿可逆方向精确反演，沿太扁方向放弃」。

1.2 这个类比在哪里失效

真实 CT 还有射束硬化、散射、运动伪影，它们不在线性方程组里；SVD 只处理「线性病态」这一半。
截断不是「算不出来」，而是主动用偏差换稳定：被丢掉的方向不是简单变模糊，而是没有对应结构。
伪逆给的是最小范数解。如果真实解在零空间里有分量（欠定时完全可能），伪逆不会恢复它，只会挑范数最小的那个。

1.3 量级直觉

$κ_{2} = 1 0^{6}$ 时， $1/ σ_{i}$ 从 $1$ 到 $1 0^{6}$ ，动态范围是 $20 lo g_{10} 1 0^{6} = 120$ dB。探测器噪声 $0.5%$ 按最坏方向放大，相对误差上界是

κ_{2} \times 0.5% = 1 0^{6} \times 5 \times 1 0^{- 3} = 5000,

也就是相对误差上界 5000 倍。这个上界很悲观——实际误差取决于噪声方向与最坏奇异方向的夹角——但重建图上的放射状条纹，就是它的小号版本。只要 $σ_{i}$ 小于噪声水平， $1/ σ_{i}$ 就不再是信息，而是噪声放大器。

2. 定义

2.1 伪逆（pseudoinverse）的 SVD 形式

设 $A = U Σ V^{⊤}$ 是瘦 SVD， $r = rank (A)$ ，定义

A^{+} = V Σ^{+} U^{⊤} \in R^{n \times m}, Σ^{+} = diag (\frac{1}{σ _{1}}, \dots, \frac{1}{σ _{r}}, 0, \dots, 0)

非零奇异值取倒数，零保持为零。形状是 $n \times m$ ——转置了。这组性质由 Penrose 在 1955 年用四条方程公理化，本页后面反复用的正是这四条。

2.2 一个公式，三种情形

$A^{+} b$ 的定义是：先在所有使 $∥ A x - b ∥_{2}$ 最小的 $x$ 里挑，再挑其中 $∥ x ∥_{2}$ 最小者。

情形	秩	结果
超定（ $m > n$ ，满列秩）	$r = n$	普通最小二乘解，唯一
欠定（ $m < n$ ，满行秩）	$r = m$	残差为 0 的解中范数最小者
秩亏	$r < min (m, n)$	两者同时：最小残差 + 最小范数

2.3 数值秩与截断

浮点数里没有「恰好为零」。给定容差 $τ$ ，**数值秩（numerical rank）**为 $r_{τ} = # {i : σ_{i} > τ}$ 。常用取值为 $τ = max (m, n) \cdot ε_{mach} \cdot σ_{1}$ （NumPy matrix_rank 的默认），也可自己给（如 $1 0^{- 6} σ_{1}$ ）；数值秩与条件数的标准处理见 Golub 与 Van Loan。**截断伪逆（truncated pseudoinverse）**只保留 $σ_{i} > τ$ 的项： $A_{τ}^{+} = \sum_{σ_{i} > τ} σ_{i}^{- 1} v_{i} u_{i}^{⊤}$ 。

2.4 条件数（condition number）

$κ_{2} (A) = σ_{1} / σ_{r}$ 是「输入相对误差被放大倍数的上界」；秩亏时约定 $κ = \infty$ 。数值上要区分 $κ$ 无穷与 $κ = 1 0^{16}$ ：后者对双精度而言已经「实际不可逆」。

3. 为什么这样定义

四个子空间各归各位。 $A$ 把行空间同构送到列空间，把零空间压成 0。伪逆要做三件事：列空间上取真逆（ $σ_{i} > 0$ 的项取 $1/ σ_{i}$ ）；左零空间上输出 0（没有输入能到达那里，反解无从谈起）；零空间上输出 0（这些方向本就不可观测，取 0 顺便实现最小范数）。

为什么阈值是必需的？ 「 $σ_{512} = 1 0^{- 8}$ 是否等于零」取决于精度与噪声：双精度、无噪声时它是真实维度；bf16 或测量有 $1 0^{- 3}$ 噪声时它和 0 没区别。数值秩不是 $A$ 的固有属性，而是 $A$ 加精度加噪声的联合属性。

3.1 反事实：用绝对阈值判秩会坏在哪

假设你图省事，把阈值写成一个绝对常数 $τ = 1 0^{- 6}$ ，单位是伏特。取一个对角矩阵

A = diag (2 \times 1 0^{- 3}, 4 \times 1 0^{- 9}) .

在伏特下， $σ_{2} = 4 \times 1 0^{- 9} < 1 0^{- 6}$ ，数值秩判为 1，第二个方向被截掉。

现在换一个工程师，用微伏记录同一个物理量： $A^{'} = 1 0^{6} A = diag (2000, 4 \times 1 0^{- 3})$ 。同一个 $τ = 1 0^{- 6}$ ， $σ_{2} = 4 \times 1 0^{- 3} > 1 0^{- 6}$ ，数值秩判为 2，第二个方向保留。

同一个矩阵、同一台设备，只是换了单位，数值秩从 1 变成 2；下游一个做截断、一个不做，解和重建结果完全不同。阈值绑在单位上，结论就绑在单位上。

换成相对阈值 $τ = max (m, n) ε_{mach} σ_{1}$ ：

伏特版： $2 \times 2.2 \times 1 0^{- 16} \times 2 \times 1 0^{- 3} \approx 8.8 \times 1 0^{- 19}$ ， $σ_{2} = 4 \times 1 0^{- 9}$ 远大于它，秩 2；
微伏版： $2 \times 2.2 \times 1 0^{- 16} \times 2000 \approx 8.8 \times 1 0^{- 13}$ ， $σ_{2} = 4 \times 1 0^{- 3}$ 也远大于它，秩 2。

两边的结论一致，因为阈值随 $σ_{1}$ 一起缩放。

但相对阈值也不是终点：若测量噪声本身有 $1 0^{- 5}$ （伏特）， $σ_{2} = 4 \times 1 0^{- 9}$ 仍然不可信——这时阈值应该定在噪声水平，而不是机器精度。判秩的阈值要随噪声走，不能随单位走，也不能只随 $ε_{mach}$ 走。

4. 性质与推导

4.1 两个投影

$A A^{+} = U Σ Σ^{+} U^{⊤}$ ，而 $Σ Σ^{+}$ 是对角元为 $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ 的对角阵，所以 $A A^{+}$ 是到 $col (A)$ 的正交投影；同理 $A^{+} A = V Σ^{+} Σ V^{⊤}$ 投影到 $row (A)$ 。

4.2 误差放大： $κ$ 从哪来

设 $A$ 可逆， $b$ 有扰动 $δ b$ ，解变为 $x + δ x$ ，则 $A δ x = δ b$ 。展开到奇异坐标：

∥ δ x ∥ = i \sum \frac{u _{i}^{⊤} δ b}{σ _{i}} v_{i} \leq \frac{∥ δ b ∥}{σ _{r}}, ∥ x ∥ \geq \frac{∥ b ∥}{σ _{1}}

两式相除得 $∥ δ x ∥/∥ x ∥ \leq κ_{2} (A) ∥ δ b ∥/∥ b ∥$ 。这个式子说的是：相对误差最多被放大 $κ$ 倍。它也解释了为什么不能先算 $A^{⊤} A$ ： $κ (A^{⊤} A) = κ (A)^{2}$ ， $1 0^{8}$ 会变成 $1 0^{16}$ ，直接吃光双精度。

4.3 截断的偏差—方差权衡

用 $A_{τ}^{+}$ 时，解与真解的差别分两部分：被丢掉的方向带来偏差（量级 $\sum_{σ_{i} \leq τ} ∣ u_{i}^{⊤} b ∣/ σ_{1}$ ），保留的方向带来噪声放大（量级 $τ^{- 1} ∥ δ b ∥$ ）。 $τ$ 增大，偏差增大、方差减小；最佳 $τ$ 与噪声水平同量级。

4.4 满秩时的退化

满列秩（ $r = n$ ）时 $A^{+} = (A^{⊤} A)^{- 1} A^{⊤}$ ；满行秩（ $r = m$ ）时 $A^{+} = A^{⊤} (A A^{⊤})^{- 1}$ 。两者都能从 $V Σ^{+} U^{⊤}$ 直接推出，不需要额外假设。

5. 例子

5.1 超定：最小二乘

A = 101011, b = 111, A^{⊤} A = [2112]

$A^{⊤} A$ 的特征值为 $3, 1$ ，故 $σ_{1} = 3$ 、 $σ_{2} = 1$ ， $κ_{2} = 3 \approx 1.732$ （良态）。右奇异向量 $v_{1} = \frac{1}{2} (1, 1)^{⊤}$ 、 $v_{2} = \frac{1}{2} (1, - 1)^{⊤}$ ；左奇异向量 $u_{1} = \frac{1}{6} (1, 1, 2)^{⊤}$ 、 $u_{2} = \frac{1}{2} (1, - 1, 0)^{⊤}$ 。

$b$ 的奇异坐标为 $u_{1}^{⊤} b = 4/ 6$ 、 $u_{2}^{⊤} b = 0$ ，于是

A^{+} b = \frac{4/ 6}{3} \cdot \frac{1}{2} [11] = \frac{4}{3 2} \cdot \frac{1}{2} [11] = [2/3 2/3]

核对：残差 $b - A \hat{x} = (1/3, 1/3, - 1/3)^{⊤}$ ，与两列都正交（ $1/3 - 1/3 = 0$ ）✓； $∥ b ∥^{2} = 3$ ，投影分量 $16/6$ ，残差平方 $3 - 16/6 = 1/3$ ，与 $3 \times (1/9)$ 一致 ✓。

5.2 欠定：最小范数

$A = [102001]$ 、 $b = (1, 1)^{⊤}$ 。 $A A^{⊤} = diag (5, 1)$ ，故 $σ_{1} = 5$ 、 $σ_{2} = 1$ ， $κ_{2} = 5$ ； $u_{1} = (1, 0)$ 、 $u_{2} = (0, 1)$ ， $v_{1} = \frac{1}{5} (1, 2, 0)^{⊤}$ 、 $v_{2} = (0, 0, 1)^{⊤}$ 。于是

A^{+} b = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} 120 + 1 \cdot 001 = 1/5 2/5 1

核对： $A x = (1/5 + 4/5, 1) = (1, 1)$ ✓。解集为 $x = (1/5, 2/5, 1) + t (- 2, 1, 0)$ ，由于 $(- 2, 1, 0)$ 与特解正交， $∥ x ∥^{2} = 6/5 + 5 t^{2}$ ， $t = 0$ 时最小 ✓。

5.3 数值秩：什么时候该截断

$A = [11 1 1 + 1 0^{- 8}]$ ， $σ = (2, 5 \times 1 0^{- 9})$ ， $κ_{2} = 4 \times 1 0^{8}$ 。真解 $x = (1, 1)^{⊤}$ 对应 $b = (2, 2 + 1 0^{- 8})^{⊤}$ 。

把 $b$ 扰动 $1 0^{- 8}$ （ $∥ δ b ∥/∥ b ∥ \approx 3.5 \times 1 0^{- 9}$ ），新解变成 $(2, 0)^{⊤}$ ——相对误差 $100%$ 。而 $κ \times 3.5 \times 1 0^{- 9} \approx 1.4$ ，与观测到的放大同量级。

若取 $τ = 1 0^{- 6}$ ，数值秩 $r_{τ} = 1$ ，截断伪逆给出 $A_{τ}^{+} b \approx (1, 1)^{⊤}$ 。噪声被压掉，答案反而更接近真解——这就是 TSVD（截断奇异值分解）作为正则化的直观来源；Hansen 把这类截断的偏差—方差权衡写成了系统分析。

5.4 场景闭环：512×512 的 CT 切片

输入： $512 \times 512$ 重建，262,144 个未知数；180 个角度 × 512 个探测器，92,160 个方程。系统矩阵稀疏，每条射线约穿过 512 个像素，非零元约 $92, 160 \times 512 \approx 4.7 \times 1 0^{7}$ ，按每非零 8 B 存约 377 MB；sinogram 本身 $92, 160 \times 4$ B≈0.37 MB，重建图 1 MB。

计算：不形成完整 SVD—— $U$ 会是 $92, 16 0^{2}$ 个数，fp64 约 68 GB。实际用 Lanczos/svds 只求前 $k$ 个奇异三元组，每次迭代两次稀疏矩阵-向量乘，约 $2 \times 4.7 \times 1 0^{7} = 9.4 \times 1 0^{7}$ FLOP； $k = 50$ 跑 50–100 次迭代约 $5 \times 1 0^{9}$ – $1 0^{10}$ FLOP。伪逆解按 $x_{τ} = \sum_{σ_{i} > τ} \frac{u _{i}^{⊤} b}{σ _{i}} v_{i}$ 组装。

输出：一张重建图，以及阈值 $τ$ （或等价的截断秩 $k$ ）。决策还包括是否叠加 Tikhonov/TV 正则、是否重扫。

成本：主要成本是稀疏 matvec 和存 $A$ 的 377 MB；单张按 $1 0^{10}$ FLOP、10 GFLOP/s 估约 1 s，符合「病人在扫描床上等」的预算。图像本身只占 1 MB，相比系统矩阵可以忽略。

失败条件：

$τ$ 太小：0.5% 的探测器噪声被 $1/ σ$ 放大，重建出现放射状条纹。兜底：按残差范数约等于噪声范数来选 $τ$ （偏差原理），或加 TV 正则。
$τ$ 太大：钙化点、小裂纹一起被抹平。兜底：用体模（phantom）标定 $τ$ ，并保留原始 sinogram 以便换参重重建。
模型误差：射束硬化、散射不在 $A$ 里，截断 SVD 救不了。兜底：先做硬化校正，或改用带物理模型的迭代重建。

6. 常见误区

误区： $A^{+}$ 是「近似的逆」， $A^{+} A \approx I$ 。纠正： $A^{+} A$ 是到行空间的精确投影，秩亏时离 $I$ 很远；只有满列秩时才是 $I$ 。
误区： $A^{+} b$ 一定满足 $A x = b$ 。纠正：只有 $b \in col (A)$ 时残差为零，否则它是最小二乘解（见 5.1）。
误区：数值秩是矩阵的客观属性，算出来多少就是多少； $κ$ 大说明代码有 bug。纠正：数值秩依赖容差与精度——同一个 $A$ 在 fp64 下可能秩 512、bf16 下秩 200。 $κ$ 是问题的属性；良态问题加坏算法才出错，病态问题加好算法也只能得到 $κ$ 倍的误差。

7. 概念网络

前置：4.5 伪逆与最小范数解 —— 代数定义与四条件。
前置：7.2 计算与性质 —— $κ = σ_{1} / σ_{r}$ 的来历。
后续：7.5 SVD 应用 —— 闭式编辑、PCA、推荐都用伪逆。
关联：4.6 条件数与病态、7.3 低秩近似、1.6 正交与投影 —— 误差放大、秩约束、两个投影。

8. 通往大模型：编辑、微调与「不敢反演」

出现位置：闭式模型编辑（把一条事实写入某一层）、求最小改动微调、以及任何需要「反解」权重的地方。

形状：要让 $W \in R^{D \times D}$ 在 $K$ 个输入 $H \in R^{D \times K}$ 上满足 $W H = Y$ ，取 $Δ W = (Y - W H) H^{+}$ ，其中 $H^{+} \in R^{K \times D}$ 、 $Δ W \in R^{D \times D}$ ，且 $rank (Δ W) \leq K$ 。 $D = 4096, K = 8$ 时只有 8 个非零奇异值，其余 4088 维完全没动。

为什么需要条件数： $H^{+}$ 的稳定性由 $κ_{2} (H) = σ_{1} (H) / σ_{K} (H)$ 决定。若 8 个编辑输入的表示几乎共线， $σ_{K}$ 很小， $Δ W$ 会爆炸，并对未观测输入产生巨大扰动。上线前检查 $κ_{2} (H)$ 是必要步骤：常见做法是 $κ > 1 0^{3}$ 就减少 $K$ ，或改用 $(H^{⊤} H + λ I)^{- 1} H^{⊤}$ 做 Tikhonov 正则。

低精度的天花板：bf16 相对精度约 $4 \times 1 0^{- 3}$ ， $σ_{i} / σ_{1} < 1 0^{- 2}$ 的方向实际不可反演。也就是说，低精度训练里「秩」有一个由精度决定的上限：超过它的方向即使数学上非零，也无法可靠更新。

可检验结论： $Δ W H = Y - W H$ 在浮点误差内精确成立， $rank (Δ W) \leq K$ ；若把 $H$ 的某一列复制一份（人为制造秩亏）， $κ_{2} (H)$ 变为无穷，此时必须截断，否则解出现 inf/nan。

算错时下游看到什么：若 $H$ 的 8 个编辑输入几乎共线（ $κ_{2} (H)$ 很大）， $Δ W$ 的范数量级是 $∥ Y - W H ∥/ σ_{K}$ ，会顺带改掉未观测输入的行为。用户看到的是：想让模型记住一条新事实，它却在无关问题上开始胡说，或者旧知识被覆盖。兜底是编辑前检查 $κ_{2} (H)$ 、限制 $K$ 、用 Tikhonov 正则，并在编辑后跑一组回归问题。

9. 练习

概念：为什么伪逆解一定落在行空间里？这和「最小范数」是同一件事吗？
计算： $A = [1212]$ ， $b = (1, 3)^{⊤}$ ，求 $A^{+} b$ 、残差，并验证残差与列空间正交。
计算： $A = [3000]$ ，求 $A^{+}$ ，解 $A x = (6, 5)^{⊤}$ 的最小二乘解与残差。
场景：某层 $H \in R^{4096 \times 8}$ 的 $κ_{2} = 1 0^{4}$ ，做闭式编辑会发生什么？给出两种补救办法。
开放：既然截断能提高稳定性，为什么不全截断到秩 1？

参考答案

$A^{+} = V Σ^{+} U^{⊤}$ 的列是 $V$ 的列的线性组合，而 $V$ 的前 $r$ 列张成行空间。解集 $x_{p} + N (A)$ 中只有行空间分量影响 $A x$ ，去掉零空间分量既保持残差又减小范数，所以两件事是一体的。
$σ_{1} = 10$ 、 $σ_{2} = 0$ ， $A^{+} = A^{⊤} /∥ A ∥_{F}^{2} = \frac{1}{10} [1122]$ ， $A^{+} b = (7/10, 7/10)^{⊤}$ 。残差 $(1, 3) - (1.4, 2.8) = (- 0.4, 0.2)$ ，与 $(1, 2)$ 的内积 $- 0.4 + 0.4 = 0$ ✓。
$A^{+} = [1/3 0 00]$ ， $A^{+} b = (2, 0)^{⊤}$ ；残差 $(0, 5)^{⊤}$ ，与 $span {(1, 0)}$ 正交 ✓。
$σ_{8}$ 很小， $H^{+}$ 的范数约为 $1/ σ_{8}$ ， $Δ W$ 爆炸并破坏其他输入。补救：(a) 减少 $K$ ，只保留独立方向；(b) Tikhonov 正则 $(H^{⊤} H + λ I)^{- 1} H^{⊤}$ ，等价于做 TSVD 截断。
偏差会失控：秩 1 近似只保留一个方向， $∥ A - A_{1} ∥$ 可能接近 $∥ A ∥$ ，残差巨大。截断的收益有上限，最优 $τ$ 在「噪声放大」与「丢信息」之间取平衡。

10. 一页速记

$A^{+} = V Σ^{+} U^{⊤}$ ：非零奇异值取倒数、零留零，形状 $n \times m$ ；一个公式统一超定（最小二乘）、欠定（最小范数）与秩亏（两者同时）。
数值秩 $r_{τ} = # {σ_{i} > τ}$ ， $τ$ 依赖精度与噪声，不是固有属性。
$κ_{2} = σ_{1} / σ_{r}$ ，相对误差最多放大 $κ$ 倍； $κ (A^{⊤} A) = κ (A)^{2}$ 。
截断伪逆用偏差换稳定，是最简单的正则化；bf16 下秩有精度天花板。
物理意义 / 现实对应：伪逆是「把每个方向的压缩比倒过来」； $σ_{i}$ 是被压扁的程度， $1/ σ_{i}$ 是反演时的放大倍数， $τ$ 是「低于噪声就当看不见」的分界线。

11. 参考文献与致谢

这一页的知识不是凭空来的。下面列出本页直接借用的原始工作与权威整理；正文中的人名、定理名已链接到对应条目。链接优先指向 DOI、arXiv 或可长期访问的原文存档。

彭罗斯（Roger Penrose, 1955）：A Generalized Inverse for Matrices。用四条方程唯一刻画了广义逆 $A^{+}$ （也就是伪逆），本页第 2.1 节的 $V Σ^{+} U^{⊤}$ 就是这组方程在 SVD 下的解。Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 51(3)
Hansen（Per Christian Hansen, 1998）：Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems。系统分析了 TSVD 作为正则化的偏差—方差权衡，本页第 5.3 节「截断反而更接近真解」与第 4.3 节的最佳 $τ$ 都出自这一框架。SIAM
Golub 与 Van Loan（Gene H. Golub & Charles F. Van Loan, 2013）：Matrix Computations（4th ed.）。对数值秩、条件数与伪逆给出系统处理；本页第 2.3 节用 $max (m, n) ε_{mach} σ_{1}$ 判零、第 4.2 节用 $κ$ 界误差，都是这一框架里的标准结论。Johns Hopkins University Press

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随堂测 · 5 题

单选难度 1第 1 / 5 题

若

A \in R^{m \times n}

，伪逆

A^{+} = V Σ^{+} U^{⊤}

的形状是？

m \times n

n \times m

m \times m

n \times n

没思路？看原文

源文件：07-SVD/04-伪逆与数值秩.md