M05 习题答案

对应 m05-习题。计算题保留中间步骤；数值保留 3 位小数，精确值优先写分数。

A 概念题

1. $|\det A|$ 是体积缩放倍率：单位正方形/立方体的像的体积。符号记录定向：$\det >0$ 保持定向，$\det <0$ 翻转，$\det =0$ 把 $n$ 维体积压成更低维。$\det =0$ 的本质是列线性相关（存在非零 $\mathbf{x}$ 使 $A\mathbf{x}=0$），与元素大小无关；例如 $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 4\end{array}\right]$ 元素不小但 $\det =0$。

2. (a) 错。$A=I_2,B=-I_2$：$\det (A+B)=\det 0=0$，而 $\det A+\det B=2$。 (b) 对。体积先乘 $\det B$ 再乘 $\det A$。 (c) 错。每行都乘 $c$，$n\times n$ 矩阵应得 $c^n\det A$；如 $\det (2I_3)=8$。 (d) 对。转置不改变体积。 (e) 对。交换两行翻转定向，有向体积变号。 (f) 对。倍加是剪切，保体积。 (g) 错。反例同上：没有零行，但两列成比例，$\det =0$。 (h) 对。$A{A}^{-1}=I$，取 $\det$ 得 $\det A\det (A^{-1})=1$。

3. 等价说法：列（行）线性相关；$\mathrm{rank}(A)<n$；零空间含非零向量；$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ 不是对每个 $\mathbf{b}$ 都有唯一解；$0$ 是 $A$ 的特征值；$A$ 的像体积为 0。它们等价，是因为「存在非零方向被压到 0」同时意味着列不独立、秩亏损、不可逆，而体积为 0 正是降维的几何表现。

4. Cramer 要算 $n+1$ 个行列式；按 Leibniz 是 $O(n!)$，即使每个用消元也是 $O(n^4)$，且行列式易上溢/下溢、相消严重，误差被 $\mathrm{cond}(A)$ 放大。$\det$ 小不等于病态：$0.1I_{100}$ 的 $\det =10^{-100}$，条件数为 1；判断病态要看条件数或最小奇异值。

B 计算题

1. (a) $\det =3\cdot 2-1\cdot 1=5$；可逆；$\det >0$ 不翻转；面积 $=5$。 (b) $\det =2\cdot 2-4\cdot 1=0$；奇异；面积 $=0$（两列共线，压成直线）。 (c) $\det =0\cdot 0-1\cdot 1=-1$；可逆；$\det <0$ 翻转；面积 $=1$。 (d) $\det =1\cdot 4-2\cdot 3=-2$；可逆；$\det <0$ 翻转；面积 $=2$。

2. 沿第一行：

   $$\det =1\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ 6& 0\end{array}\right|-2\left|\begin{array}{cc}0& 4\\ 5& 0\end{array}\right|+3\left|\begin{array}{cc}0& 1\\ 5& 6\end{array}\right|=1(0-24)-2(0-20)+3(0-5)=-24+40-15=1.$$

   行变换验算：$R_3\leftarrow R_3-5R_1$ 得 $\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 0& -4& -15\end{array}\right]$，按第一列展开 $\det =1\cdot (1\cdot (-15)-4\cdot (-4))=-15+16=1$。

3. $$\det B=2\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|-1\left|\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right|+0=2(4-1)-(2-0)=4.$$

   九个代数余子式组成 $C=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$，所以

   $$\mathrm{adj}(B)=C^{\top }=\left[\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ -2& 4& -2\\ 1& -2& 3\end{array}\right]$$

   （$B$ 对称，$C$ 也对称）。$B^{-1}=\frac{1}{4}\mathrm{adj}(B)$。 验证第一行：$B$ 的第一行 $(2,1,0)$ 乘 $\mathrm{adj}(B)$ 的三列，分别得 $6-2=4$、$-4+4=0$、$2-2=0$；其余行同理，故 $B\mathrm{adj}(B)=4I$。

4. 把第 1 列换成 $(1,2,3{)}^{\top }$：

   $$\det B_1=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 0\\ 2& 2& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=1(4-1)-1(4-3)+0=2.$$

   第 2 列：$\det B_2=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 3& 2\end{array}\right|=2(4-3)-1(2-0)=0$。 第 3 列：$\det B_3=\left|\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 1& 2& 2\\ 0& 1& 3\end{array}\right|=2(6-2)-1(3-0)+1(1-0)=6$。 所以 $\mathbf{x}=(2,0,6)/4=(1/2,0,3/2{)}^{\top }$。代回：$B\mathbf{x}=(1+0+0,1/2+0+3/2,0+0+3)=(1,2,3)$。

5. (a) $J=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$，$\det =-2$；单位正方形顶点映到 $(0,0),(1,1),(2,0),(1,-1)$，是两条对角线都为 2 的菱形，面积 $=2=|\det |$；$\det <0$ 翻转定向。 (b) $J=\left[\begin{array}{cc}2u& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$，在 $(2,3)$ 处 $\det =4$，局部面积放大 4 倍。 (c) $J=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -r\sin \theta \\ \sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]$，$\det =r({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=r$。 (d) $J=\left[\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right]$，$\det =e^{2x}({\cos }^{2}y+{\sin }^{2}y)=e^{2x}$；在 $(0,0)$ 处为 1，局部保面积。

C 大模型题

1. $$\log p_X(x)=\log p_Z(z)-\log |\det J_f(z)|,z=f^{-1}(x).$$

   漏掉这一项，目标就不再是归一化密度的似然。以 $f(z)=az$ 为例，$p_X(x)=p_Z(x/a)/a$，正确目标含 $-\log a$；漏掉后目标变成 ${\sum }_i\log p_Z(x_i/a)$，把 $a$ 推向 $\infty$（放大体积）就能让所有 $x_i/a\to 0$、$p_Z$ 接近峰值，却不用付 $\log a$ 的代价。密度积分也不再等于 1。 Coupling 层的 Jacobian 是块三角阵，$\det J={\prod }_i{s}_i$，所以 $\log |\det J|={\sum }_i\log |s_i|$，只需 $O(D)$，而完整 $D\times D$ 行列式要 $O(D^3)$。

2. $\log \det \Sigma =\log (4\cdot 9)=\log 36\approx 3.584$。均值处

   $$p(\mathbf{\mu })=\frac{1}{2\pi \sqrt{\det \Sigma }}=\frac{1}{2\pi \cdot 6}=\frac{1}{12\pi }\approx \mathrm{0.0265.}$$

   实际代码用 Cholesky $\Sigma =L{L}^{\top }$：$\log \det \Sigma =2{\sum }_i\log L_{ii}$，再用两个三角回代解 ${\Sigma }^{-1}(\mathbf{x}-\mathbf{\mu })$。这样避免显式求逆（$O(D^3)$ 且数值不稳），也避免直接算 $\det$ 的上溢/下溢。

3. $0.1^{1000}=10^{-1000}$，float64 直接下溢为 0.0，np.linalg.det 返回 0，无法区分「真奇异」与「只是很小」。$\log \det \Sigma =1000\log 0.1\approx -2302.585$，用 slogdet 可稳定得到。 反例：$0.1I_{1000}$ 的 $\det =10^{-1000}$，但条件数为 1，完全不病态。相反，$\mathrm{diag}(10^6,10^{-6})$ 的 $\det =1$，条件数却是 $10^{12}$。所以病态要看条件数/奇异值，不看 $\det$。

D 开放题

1. 取 $n=5,10,20,50$，每轮生成 $A,B\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$，元素取 $\mathcal{N}(0,1/n)$（把尺度归一，避免 $\det$ 指数级变化）。计算

   $$e_{\text{rel}}=\frac{|\det (AB)-\det A\det B|}{\max (|\det A\det B|,10^{-12})},$$

   并对每档 $n$ 重复 100 次取中位数。预期 $e_{\text{rel}}$ 随 $n$ 缓慢增长，量级约 $n{ϵ}_{\text{mach}}$，偶尔因相消出现离群值。不能直接对 $1000\times 1000$ 随机矩阵比较 $\det$：随机矩阵的 $|\det |$ 约为 $e^{O(n\log n)}$，会溢出；应改用 slogdet 比较 $\log |\det |$，符号单独比较。

2. 完整 Jacobian：每层算 $D\times D$ 的 $\det$，时间 $O(D^3)$、内存 $O(D^2)$，表达能力强，但 $D=512$ 时已经昂贵，且行列式数值不稳。Coupling：三角 Jacobian，$\log |\det |$ 为 $O(D)$，逆变换显式、训练稳定；代价是每层只改一半维度，需要多层交替，单层表达能力受限。Diffusion 不做「可逆确定映射」：前向过程逐步加噪，似然通过 ELBO/score 估计，不需要也不会出现 $\log |\det J|$；它用「去噪」换掉了 flow 的「可逆 + 行列式」约束。