M05 习题：行列式

对应模块：M05 行列式 先独立完成，再对 答案。计算题保留中间步骤；判断题要给出理由或反例。

A 概念题

1. 用「有向体积」解释 $\det A$ 的绝对值与符号各代表什么。为什么说 $\det A=0$ 表示「降维」而不是「矩阵很小」？
2. 判断正误，并说明理由或举反例： (a) $\det (A+B)=\det A+\det B$； (b) $\det (AB)=\det A\det B$； (c) $\det (cA)=c\det A$； (d) $\det (A^{\top })=\det A$； (e) 交换两行，$\det$ 变号； (f) 某行加另一行的 $k$ 倍，$\det$ 不变； (g) $\det A=0$ 当且仅当 $A$ 有零行； (h) $\det (A^{-1})=1/\det A$。
3. 列出「$\det A=0$」的至少五个等价说法（向量、秩、方程、特征值、几何各一个），并说明它们为什么是一回事。
4. Cramer 法则有漂亮的闭式解，为什么数值软件不实现它？另外，$\det A$ 很小是否说明 $A$ 病态？各用一句话回答。

B 计算题

1. 计算下列 $2\times 2$ 行列式，判断是否可逆、是否翻转定向，并求单位正方形像的面积： (a) $\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$；(b) $\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 1& 2\end{array}\right]$；(c) $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$；(d) $\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$。
2. 用按行展开求 $\det \left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& 1& 4\\ 5& 6& 0\end{array}\right]$，再用行变换验算。
3. 设 $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 1& 2& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right]$。求 $\det B$、$\mathrm{adj}(B)$、$B^{-1}$，并验证 $B\mathrm{adj}(B)=(\det B)I$。
4. 用 Cramer 法则解 $B\mathbf{x}=(1,2,3{)}^{\top }$，其中 $B$ 同第 3 题；代回验证。
5. 求下列变换的 Jacobian 行列式： (a) $f(u,v)=(u+v,u-v)$，并求单位正方形像的面积； (b) $f(u,v)=(u^2,v)$ 在 $(u,v)=(2,3)$ 处； (c) 极坐标 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$； (d) $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$，并求在 $(0,0)$ 处的局部面积缩放。

C 大模型题

1. 设 $z\sim p_Z$，$x=f(z)$ 是可逆变换，$J_f\in {\mathbb{R}}^{D\times D}$。写出 $\log p_X(x)$ 的公式。若训练时漏掉 $\log |\det J_f|$ 这一项，目标函数还是归一化密度的似然吗？取一维缩放 $f(z)=az$ 具体说明会发生什么。
2. 设协方差 $\Sigma =\mathrm{diag}(4,9)$。求 $\log \det \Sigma$ 和均值处的密度 $p(\mathbf{\mu })$。为什么实际代码用 Cholesky 而不是先求 ${\Sigma }^{-1}$？
3. $D=1000$，$\Sigma =0.1I_D$。直接算 $\det \Sigma$ 会发生什么？$\log \det \Sigma$ 是多少？构造一个「$\det$ 极小但条件数为 1」的例子，说明为什么不能用 $\det$ 判断病态。

D 开放题

1. 设计一个数值实验验证 $\det (AB)=\det A\det B$。说明矩阵尺寸、元素尺度、误差指标怎么选；随着 $n$ 增大，你预期相对误差如何变化？为什么不能直接对 $1000\times 1000$ 的随机矩阵比较 $\det$？
2. 归一化流有两种常见设计：完整 Jacobian（每层算 $D\times D$ 的 $\det$）与 coupling 层（三角 Jacobian）。从计算成本、表达能力、训练稳定性三方面比较，并说明 diffusion 模型为什么通常不需要显式的 $\log |\det J|$。