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完整课程大纲

81 篇概念文档 + 模块导览 + 13 组习题 + 12 个实验 + 速查附录。排序即建议阅读顺序；前置 中的编号指概念 id。状态随建设更新，权威进度见 ../PROGRESS.md。

M00 准备：数学语言（3 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
0.1	为什么大模型的母语是线性代数	从一句话到向量，再到一次矩阵乘法	—	全流程预览
0.2	数学语言：集合、映射与求和符号	读懂论文里的 $\sum$ 、 $\in$ 、 $f : R^{n} \to R^{m}$	—	形状推导
0.3	标量、向量、矩阵、张量：按轴理解	张量就是「带多个索引的数组」	0.2	`[B,T,D]`

M01 向量与几何（7 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
1.1	向量：箭头、坐标与数据	同一串数字的三种身份	0.3	token embedding
1.2	加法、数乘与线性组合	用「配料表」理解向量运算	1.1	残差连接、特征叠加
1.3	点积：相似度的来源	点积在量「两个方向有多一致」	1.2	注意力打分
1.4	范数与距离	大小、距离与正则化	1.3	梯度裁剪、权重衰减
1.5	夹角与余弦相似度	为什么比较方向而不是长度	1.3, 1.4	语义检索、聚类
1.6	正交与投影	把一个向量「压」到另一个方向上	1.3, 1.4	残差流、正交初始化
1.7	叉积与三重积（选学）	三维空间里「垂直于两者」的方向	1.3	图形学、旋转

M02 向量空间（8 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
2.1	向量空间：为什么需要八条公理	把「向量」从箭头里解放出来	1.2	函数空间、表示空间
2.2	子空间与张成	一个集合对加法和数乘封闭意味着什么	2.1	低维子空间假设
2.3	线性无关：没有冗余	谁能被谁表示出来	1.2, 2.2	特征冗余、秩
2.4	基与维数	用最少的坐标描述整个空间	2.3	隐藏维度 $d_{m o d e l}$
2.5	坐标与基变换	换一组基，同一个向量换了「说法」	2.4	权重旋转、特征基
2.6	秩：信息的维度	矩阵真正「撑起」了几维	2.4	低秩、梯度秩
2.7	内积空间、正交基与 Gram–Schmidt	让基向量互相垂直	1.6, 2.4	QR、正交约束
2.8	正交补与投影定理	最优近似为什么是正交投影	2.7	最小二乘、子空间编辑

M03 矩阵与线性映射（7 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
3.1	矩阵的四种身份	表格、映射、算子、数据	2.4	权重矩阵
3.2	矩阵乘向量：线性映射	$A x$ 是对 $x$ 做一次变换	3.1	线性层
3.3	矩阵乘法：四种视角	为什么是「行乘列」而不是逐元素	3.2	批量矩阵乘、GEMM
3.4	逆矩阵与可逆性	变换能不能撤销	3.3	可逆性、条件数
3.5	高斯消元、初等矩阵与 LU	把复杂变换拆成简单步骤	3.4	数值求解
3.6	转置、对称与分块矩阵	转置在几何上做了什么	3.3	$Q K^{⊤}$ 、分块计算
3.7	四个基本子空间与秩-零化度定理	一个矩阵的四个「房间」	2.6, 3.6	信息瓶颈

M04 线性方程组（6 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
4.1	线性方程组的几何	交点、交线、交面	3.2	约束满足
4.2	解的存在性与通解结构	特解 + 零空间	3.7, 4.1	欠定系统
4.3	齐次方程与零空间	哪些输入被映射成零	4.2	零空间、坍缩
4.4	最小二乘与正规方程	无解时找「最接近」的解	2.8, 3.6	线性回归、微调
4.5	伪逆与最小范数解	给不可逆矩阵一个「广义逆」	4.4, 7.4	伪逆、约束更新
4.6	条件数与病态问题	输入微扰为何被放大	3.4, 4.4	训练不稳定、量化

M05 行列式（4 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
5.1	行列式：体积的缩放因子	变换把面积放大了几倍	3.3	概率密度变换
5.2	行列式的性质与计算	为什么交换两行要变号	5.1	数值行列式
5.3	逆、Cramer 法则与伴随矩阵	行列式如何判定可逆	3.4, 5.2	理论工具
5.4	行列式与 Jacobian	多维换元时体积如何变化	5.1, 8.3	归一化流、变量替换

M06 特征值（7 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
6.1	特征值与特征向量：不转向的方向	变换只拉伸、不旋转的方向	3.2	动力学、稳定性
6.2	特征多项式、迹与行列式	特征值的和与积从哪来	6.1, 5.2	谱分析
6.3	对角化	换基让矩阵变成对角	2.5, 6.2	矩阵幂、解耦
6.4	对称矩阵与谱定理	对称矩阵一定有正交特征基	2.7, 6.3	协方差、Hessian
6.5	二次型与正定性	$x^{⊤} A x$ 的几何形状	6.4	损失曲面、凸性
6.6	幂迭代与 PageRank	反复乘矩阵会收敛到哪	6.1	主特征向量、稳态
6.7	Jordan 标准形与矩阵函数	不能对角化时怎么办	6.3	理论完备性

M07 SVD（5 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
7.1	SVD 的几何：旋转-拉伸-旋转	任意矩阵都是三步操作	6.4	权重谱
7.2	SVD 的计算与性质	奇异值、左右奇异向量从哪来	6.4, 7.1	数值 SVD
7.3	低秩近似与 Eckart–Young	保留前 $k$ 个奇异值最优	7.2	LoRA、压缩
7.4	伪逆、数值秩与条件数	SVD 如何统一处理不可逆	4.5, 7.2	病态问题
7.5	SVD 应用：PCA、推荐与 LoRA	三个场景，同一套分解	7.3, 9.3	PCA、LoRA

M08 微积分与优化（8 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
8.1	多元函数、偏导与梯度	每个方向上的变化率	1.3	梯度向量
8.2	方向导数与梯度下降	梯度指向最陡上升方向	8.1	优化器
8.3	Jacobian：多元映射的导数	局部线性化就是矩阵	3.3, 8.1	反向传播
8.4	Hessian 与二阶近似	曲率决定收敛快慢	6.5, 8.3	二阶优化
8.5	矩阵求导与链式法则	把标量链式法则推广到矩阵	8.3, 8.4	autograd
8.6	凸性与优化	局部最优何时是全局最优	6.5, 8.4	损失函数
8.7	梯度下降、牛顿法与学习率	步长与曲率的博弈	8.2, 8.6	训练超参
8.8	拉格朗日乘子与约束优化	约束下的最优解	8.2, 8.6	KL 约束、RLHF

M09 概率与统计（5 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
9.1	随机向量与协方差矩阵	数据云的方向与相关性	6.4	表征协方差
9.2	多元高斯分布	协方差矩阵决定椭球形状	9.1, 6.5	扩散模型、采样
9.3	PCA：最大方差方向	用特征分解找主方向	7.5, 9.1	降维、可视化
9.4	白化与去相关	让协方差变成单位阵	9.3	归一化、表示解耦
9.5	马尔可夫链与平稳分布	转移矩阵的幂收敛到稳态	6.6, 9.1	采样、PageRank

M10 数值线性代数（5 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
10.1	浮点数与数值误差	计算机里的实数不是实数	—	fp16/bf16
10.2	矩阵范数与条件数	误差会被放大多少倍	7.4, 10.1	训练稳定性
10.3	BLAS 与 GEMM	为什么 GPU 为矩阵乘法而生	3.3	算力/带宽
10.4	迭代法与 Krylov 子空间	不直接求逆，逐步逼近	4.4, 6.6	大规模求解
10.5	稀疏矩阵与结构化矩阵	零很多时如何省算力	10.3	稀疏注意力、MoE

M11 大模型专题（12 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
11.1	Token、Embedding 与隐藏状态	离散符号如何进入向量空间	1.1, 3.2	embedding 表
11.2	线性层：一次矩阵乘法	权重矩阵在做什么	3.3, 10.3	FFN、投影
11.3	Attention 全解剖（上）：QKV	用点积做「软查表」	1.3, 3.3	$Q K^{⊤}$
11.4	Attention 全解剖（下）：softmax 与多头	归一化、缩放与并行子空间	11.3, 9.2	多头注意力
11.5	位置编码与 RoPE 的旋转矩阵	用旋转矩阵注入位置	1.6, 6.4	RoPE
11.6	LayerNorm 与 RMSNorm 的几何	归一化是在球面上投影	1.4, 1.6	归一化层
11.7	KV Cache：形状、显存与带宽	推理时缓存了什么	11.3, 10.3	推理优化
11.8	LoRA：低秩假设的工程化	用两个瘦矩阵近似更新	7.3	微调
11.9	量化：缩放因子与矩阵误差	用整数近似浮点矩阵	10.1, 10.2	int8/4bit
11.10	MoE 路由与专家矩阵	稀疏激活的矩阵分块	3.3, 10.5	MoE
11.11	logits、softmax、温度与采样	从向量到概率分布	1.4, 9.2	解码
11.12	反向传播中的矩阵与训练稳定性	梯度如何穿过矩阵	8.5, 10.2	训练

M12 进阶与全景（4 篇）

id	标题	一句话	前置	大模型钩子
12.1	张量与 einsum	用索引记号统一所有乘法	3.3, 11.4	多头注意力实现
12.2	随机矩阵理论初步	大随机矩阵的谱长什么样	6.4, 9.1	初始化、谱
12.3	线性代数全景图	把所有概念连成一张网	全部	复习
12.4	从线性代数到 Transformer 推理	下一步学什么、怎么读论文	全部	研究路线

附录

文件	内容
`cheatsheets/公式速查.md`	按主题压缩的公式与条件
`cheatsheets/符号表.md`	符号、含义、首次出现
`cheatsheets/术语中英对照.md`	中英术语 + 一句话解释
`curriculum/8周计划.md`	每周目标、阅读、练习、lab

统计

概念文档：81 篇（核心 65 / 进阶 11 / 选学 5）
习题：13 组（M00–M12），每组三档难度
实验：11 个（lab01–lab11）
预计总学习时长：约 120–150 小时（含练习）