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符号表

全课程统一记号。第一次遇到某个符号时，回到这里查。约定：数学索引从 1 开始，代码索引从 0 开始；文中会显式说明。

1. 基础对象

符号	读法	含义	示例
$a, b, λ$	小写斜体	标量（一个数）	$a = 3.5$
$x, y$	粗体小写	向量（一列数）	$x \in R^{n}$
$0$	零向量	所有分量都是 0	$0 = (0, \dots, 0)^{⊤}$
$A, B, W$	大写斜体	矩阵	$A \in R^{m \times n}$
$I_{n}$	单位阵	对角为 1、其余为 0 的 $n \times n$ 矩阵	$I_{3}$
$T$	花体大写	张量	$T \in R^{B \times T \times D}$
$R$	实数集	所有实数	—
$R^{n}$	n 维实空间	$n$ 个实数组成的向量集合	—
$R^{m \times n}$	—	$m$ 行 $n$ 列实矩阵集合	—
$C$	复数集	复数（进阶章节用）	—

2. 运算

符号	读法	含义	注意
$A^{⊤}$	A 转置	行列互换	不写 $A^{T}$
$A^{- 1}$	A 的逆	满足 $A A^{- 1} = I$	只有方阵且满秩才存在
$A^{+}$	A 的伪逆	Moore–Penrose 广义逆	任意矩阵都有
$A^{*}$	A 的共轭转置	复数版转置	实矩阵时 $A^{*} = A^{⊤}$
$⟨ x, y ⟩$	内积	实向量即点积 $x^{⊤} y$	—
$∥ x ∥_{p}$	p-范数	$(\sum_{i} ∣ x_{i} ∣^{p})^{1/ p}$	默认 $p = 2$
$⊙$	逐元素积	Hadamard 积	形状必须相同
$\otimes$	Kronecker 积	分块放大	形状相乘
$det (A)$ 或 $∣ A ∣$	行列式	体积缩放因子	$∣ A ∣$ 在别处可能是绝对值
$tr (A)$	迹	对角线元素之和	等于特征值之和
$rank (A)$	秩	列空间的维数	—
$diag (v)$	对角阵	用向量 $v$ 构造对角矩阵	—
$A ≻ 0$	正定	对任意 $x \neq = 0$ ， $x^{⊤} A x > 0$	要求 $A$ 对称

3. 集合与映射

符号	读法	含义
$x \in S$	x 属于 S	元素属于集合
$S \subseteq T$	S 包含于 T	子集
$S \cap T$ , $S \cup T$	交、并	—
$S + T$	子空间和	${s + t ∣ s \in S, t \in T}$
$S \oplus T$	直和	和空间中每个元素表示唯一
$T : R^{n} \to R^{m}$	映射	输入 $n$ 维，输出 $m$ 维
$ker (T)$	核/零空间	${x ∣ T (x) = 0}$
$im (T)$	像/列空间	${T (x) ∣ x \in R^{n}}$
$span {v_{1}, \dots}$	张成	所有线性组合构成的集合
$dim V$	维数	基向量的个数
$V^{⊥}$	正交补	与 $V$ 中所有向量正交的向量集合

4. 微积分与概率

符号	读法	含义
$\nabla f$	梯度	偏导组成的向量
$\partial f / \partial x_{i}$	偏导	固定其他变量对 $x_{i}$ 求导
$J_{f}$ 或 $D f$	Jacobian	一阶偏导矩阵，形状 $m \times n$
$H_{f}$ 或 $\nabla^{2} f$	Hessian	二阶偏导矩阵，形状 $n \times n$
$E [X]$	期望	随机变量的均值
$Var (X)$	方差	—
$Cov (x)$	协方差矩阵	$E [(x - μ) (x - μ)^{⊤}]$
$N (μ, Σ)$	高斯分布	均值 $μ$ 、协方差 $Σ$
$σ (\cdot)$	sigmoid / softmax	视上下文，文中会注明
$\propto$	正比于	差一个常数因子

5. 大模型专用

记号	含义	典型形状
$B$	batch size	标量
$T$	序列长度（token 数）	标量
$D$ 或 $d_{m o d e l}$	隐藏维度	标量，如 4096
$H$	注意力头数	标量，如 32
$d_{k} = d_{m o d e l} / H$	每个头的维度	标量，如 128
$X \in R^{B \times T \times D}$	隐藏状态	三维张量
$W_{Q}, W_{K}, W_{V}, W_{O}$	注意力投影矩阵	$[D, D]$ 或 $[D, d_{k}]$
$Q, K, V$	query/key/value	$[B, H, T, d_{k}]$
$softmax$	按最后一维归一化	不改变形状
$A$ 或 $P$	attention 权重矩阵	$[B, H, T, T]$
$FFN$	前馈网络	$D \to 4 D \to D$
$RoPE$	旋转位置编码	对 $Q, K$ 成对旋转
$L$	层数	标量

6. 容易混淆的记号

容易混淆	区分
$A^{- 1}$ vs $A^{+}$	逆要求方阵满秩；伪逆对任意矩阵都有
$∥ x ∥_{2}$ vs $∥ x ∥_{2}^{2}$	后者是平方，求导时更常用
$det (A)$ vs $∣ A ∣$	前者是行列式；后者在有些书里是绝对值/基数
$x^{⊤} y$ vs $x y^{⊤}$	前者是标量（内积），后者是矩阵（外积）
$A^{⊤} A$ vs $A A^{⊤}$	都半正定，但形状/零空间不同
特征值 vs 奇异值	特征值可负可复；奇异值非负