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图示规划：让「变换」看得见

这份文档回答两个问题：哪些概念值得画图，以及画成什么形式才不比文字更差。最近更新：2026-10-28。配套脚本在 figures/scripts/，产物在 figures/out/。

0. 为什么要做这件事

课程正文已经覆盖 81 个概念，但多数页面仍是「公式 + 场景 + 推导」。对下面三类内容，文字描述的理解成本明显高于一张图：

空间动作：旋转、投影、压扁、拉伸、鞍面——读者需要在脑中做几何变换；
连续过程：幂迭代、梯度下降、Gram–Schmidt——读者需要想象「一步步走过去」；
离散结构：mask、量化刻度、稀疏/分块——读者需要对照「哪些位置被保留」。

一张好图不是装饰。它应该让读者在 10 秒内获得一个判断，例如「奇异矩阵把平面压成一条线，所以逆不存在」「条件数越大，梯度下降越像之字形」。如果图只是把正文再复述一遍，就不值得画。

1. 选图原则

内容	首选形式	反例
方向、形状、轨迹、场	Matplotlib SVG	用 ASCII 字符画箭头
流程、依赖、模块关系	Mermaid	用 SVG 画一堆方框和箭头
精确数字、矩阵行、参数对照	Markdown 表格	把矩阵画成位图
单个公式的代数变形	正文公式 + 一句话读法	为「移项」画一张图

四条硬约束：

一图一判断：标题与图注只服务一个结论；不要把「旋转 + 特征值 + SVD」塞进一张图。
示例可复算：图中每个数字都要能从正文公式推出来；合成数据要标「示例」。
不重复正文：图出现的位置紧挨着它解释的那句话，图注补「怎么读」，不重复定义。
中英文分工：SVG 内用英文标题与数学符号（避免字体缺失），中文解释放在 Markdown 图注里。

2. 起点：第一轮前的 16 张

「页首」由 figures/manifest.yaml 自动插到概念页正文前；「内联」由 Markdown 直接引用，位置更贴近正文。

图	概念	位置	作用
`transformer-pipeline.svg`	0.1	内联	一个 token 穿过 L 层 Transformer 的路径
`vector-add.svg`	1.2	内联	首尾相接的加法与平行四边形
`projection.svg`	1.6	页首	投影向量与垂直残差
`cross-product.svg`	1.7	内联	叉积垂直于一平面，长度等于面积
`least-squares.svg`	4.4	内联	向列空间作垂线得到最小二乘解
`condition-number.svg`	4.6	内联	病态矩阵把单位圆压成扁椭圆
`determinant.svg`	5.1	页首	单位正方形变成平行四边形，面积等于行列式
`eigenvectors.svg`	6.1	页首	特征方向在变换后不转向
`svd.svg`	7.1	页首	单位圆变成椭圆，半轴是奇异值
`covariance-sign.svg`	9.1	内联	正/负协方差对应的点云方向
`gaussian-contours.svg`	9.2	内联	二元高斯的同心椭圆
`pca.svg`	9.3	页首	主成分方向与最小残差投影
`whitening.svg`	9.4	内联	原斜椭圆 → PCA/ZCA 白化
`rope.svg`	11.5	页首	位置编码体现为旋转角之差
`kv-cache.svg`	11.7	页首	KV Cache 随序列长度线性增长
`softmax-temperature.svg`	11.11	页首	温度改变 softmax 的尖锐度

当时覆盖 16/81 个概念（约 20%）。当时的缺口集中在 M02、M03、M06、M08、M10、M11 的「过程类」概念。

3. 第一轮新增（11 张）

优先补「正文已经写了几何解释、但没有图」且画出来能直接减少脑内模拟的位置。

图	概念 / 小节	读者应获得的判断
`rotation.svg`	0.1 §5.1 2D 旋转	$R$ 把每个向量逆时针转 90°；连乘两次 $R$ 等于 $- I$
`norm-balls.svg`	1.4 §1 范数	「长度 1」在 L1/L2/L∞ 下分别是菱形、圆、正方形
`cosine-angle.svg`	1.5 §1 余弦	余弦就是单位向量在另一方向上的坐标，也就是 $cos θ$
`span-independence.svg`	2.3 §1 线性无关	相关组的组合挤在一条线上；无关组的组合铺满平面
`inverse-singular.svg`	3.4 §1.1 可逆性	可逆矩阵保住面积、能撤回；奇异矩阵把平面压成线
`quadratic-form.svg`	6.5 §1 二次型	正定是碗，不定是鞍；特征值符号决定每个方向朝上还是朝下
`power-iteration.svg`	6.6 §1 幂迭代	反复乘 $A$ 并归一化，方向被主特征向量吸过去
`convexity.svg`	8.6 §1.2 凸性	凸函数的弦在图像上方；非凸函数会出现弦下方的「坑」
`gradient-descent.svg`	8.7 §1.1 梯度下降	扁碗上 GD 走之字形，牛顿法一步到中心
`attention-mask.svg`	11.4 §2.2 因果 mask	上三角被置 $- \infty$ 后，第 $t$ 行只在前 $t$ 列分配预算
`quantization-levels.svg`	11.9 §1 量化	量化是把连续值吸到最近刻度，最大误差是 $s /2$

放置方式：全部为正文内联。这些图只在对应小节有意义，放到页首会与上下文脱节。manifest.yaml 中用 inline: true 登记，概念页只自动挑选 inline 为假的第一张图。

4. 第二轮新增（18 张）

第一轮补的是「单点几何」，第二轮补「过程、映射与工程结构」：矩阵如何逐列组合、两个变换如何复合、特解如何沿零空间移动、浮点间距如何随指数翻倍、LoRA 的瓶颈如何省参数。

图	概念 / 小节	读者应获得的判断
`dot-product.svg`	1.3 §1.1 点积	点积 = $∥ y ∥$ × $x$ 在 $y$ 上的带符号影子
`change-of-basis.svg`	2.5 §1 换基	同一个向量，换一套网格线，坐标就变了
`gram-schmidt.svg`	2.7 §2.3 Gram–Schmidt	减掉投影，剩下的分量才与已选方向正交
`matrix-vector-columns.svg`	3.2 §1.1 矩阵乘向量	$A x$ 是按输入系数把列向量加权相加
`matrix-composition.svg`	3.3 §1.1 矩阵乘法	先 $B$ 后 $A$ 与直接乘 $A B$ 是同一个映射
`system-geometry.svg`	4.1 §1.2 方程组的几何	交点、平行、重合分别对应唯一解、无解、无穷多解
`solution-structure.svg`	4.2 §1.2 通解结构	特解加零空间方向，整条线都是解
`jacobian-polar.svg`	5.4 §1.2 极坐标	面积元要乘 $r$ ，因为越往外同样的角宽度弧越长
`low-rank.svg`	7.3 §1 低秩近似	前几层奇异向量抓住主体，后面才是细节与噪声
`gradient-field.svg`	8.1 §1.1 梯度	梯度垂直等高线，并指向函数增大方向
`lagrange.svg`	8.8 §1.1 拉格朗日	最优点处目标等值线与约束曲线相切，两个梯度平行
`float-spacing.svg`	10.1 §1 浮点数	fp32 的绝对间距每个数量级翻倍，相对精度基本不变
`roofline.svg`	10.3 §1.2 Roofline	低强度受带宽限制，高强度受算力限制，拐点是两者之比
`sparse-pattern.svg`	10.5 §1.2 稀疏结构	非零数相同，块/带结构比随机结构更硬件友好
`layernorm-rmsnorm.svg`	11.6 §1 归一化	LayerNorm 投影到零均值面，RMSNorm 只重定半径
`lora.svg`	11.8 §1 LoRA	冻结 $W$ ，只训练 $D \to r \to D$ 的瓶颈，参数量降两个数量级
`einsum.svg`	12.1 §1 einsum	字母是轴名：共享的保留，输出没出现的被求和
`random-matrix.svg`	12.2 §1 随机矩阵	方差 $1/ n$ 的随机矩阵，谱被压在 $[- 2, 2]$ 的典型尺度内

同样全部为正文内联。到这里，图不再只是「解释一个公式」，而是覆盖了几何 → 映射 → 求解 → 数值 → 大模型的一条链。

5. 第三轮新增（7 张）

第三轮把上一版列出的「仍值得补的几何/数值图」补完：基与维数、正交补、最小范数、对角化、Hessian、共轭梯度、QKV 形状。

图	概念 / 小节	读者应获得的判断
`basis-dimension.svg`	2.4 §1 基与维数	两条无关方向就够；加入相关向量不增加维数，坐标反而不再唯一
`orthogonal-complement.svg`	2.8 §1 正交补	$S$ 与 $S^{⊥}$ 只交于原点，任意向量唯一拆成「平面内 + 法向」
`min-norm.svg`	4.5 §1.2 最小范数解	所有解在一条线上；离原点最近的切点就是 $A^{+} b$
`diagonalization.svg`	6.3 §1 对角化	换到特征基后，同一变换只剩每个坐标各自乘 $λ_{i}$
`hessian-approximation.svg`	8.4 §1.2 Hessian	二阶模型沿两个特征方向的切片与真实函数在局部贴合
`conjugate-gradient.svg`	10.4 §1.2 共轭梯度	GD 在狭长山谷里之字形；CG 用共轭方向两步走完
`qkv-shapes.svg`	11.3 §1 QKV	$[T, D] \to [T, H, d] \to [H, T, T] \to [H, T, d] \to [T, D]$ 的形状链

全部为正文内联；图注只补「怎么读」，定义仍留在正文。

6. 覆盖变化（三轮后）

模块	概念数	有图概念（三轮后）	说明
M00 准备	3	1（0.1）	0.2 符号、0.3 张量更适合表格
M01 向量与几何	7	6（1.2–1.7）	1.1「向量是什么」暂不画，避免与 1.2 重复
M02 向量空间	8	5（2.3/2.4/2.5/2.7/2.8）	2.1 公理、2.2 子空间、2.6 秩仍以文字为主
M03 矩阵与线性映射	7	3（3.2/3.3/3.4）	3.7 四子空间适合 Mermaid
M04 线性方程组	6	5（4.1/4.2/4.4/4.5/4.6）	4.3 零空间已有 Mermaid
M05 行列式	4	2（5.1/5.4）	5.2/5.3 更适合公式推导
M06 特征值	7	4（6.1/6.3/6.5/6.6）	6.2/6.4/6.7 仍是定义与证明
M07 SVD	5	2（7.1/7.3）	7.4/7.5 更适合表格与案例
M08 微积分与优化	8	5（8.1/8.4/8.6/8.7/8.8）	8.2/8.3/8.5 以公式或 Mermaid 为主
M09 概率与统计	5	4（9.1–9.4）	9.5 马尔可夫链适合 Mermaid + 稳态柱状图
M10 数值线性代数	5	4（10.1/10.3/10.4/10.5）	10.2 条件数可复用 4.6 的图，不重复画
M11 大模型专题	12	8（11.3–11.9/11.11）	11.10 MoE、11.12 反传适合 Mermaid/表格
M12 进阶	4	2（12.1/12.2）	12.3 全景图更适合 Mermaid 总图

合计：51/81 个概念有至少一张生成 SVG（约 63%），共 52 张（0.1 有两张图）。

另有 5 个概念（3.7 四子空间、4.3 零空间、9.5 马尔可夫链、11.1 Token/Embedding、12.3 全景图）已经用 Mermaid 画了结构关系。它们不计入 52 张 SVG，但算视觉覆盖。因此 56/81 个概念（约 69%） 已经有 SVG 或 Mermaid。

剩余 25 个概念大致分三类：

适合 Mermaid / 表格：11.10 MoE 路由、11.12 反向传播；3.7、9.5、12.3 已有 Mermaid，可继续打磨。
定义、证明与代数流程：2.1 八条公理、2.2 子空间、5.2 行列式性质、5.3 Cramer、6.2 特征多项式、6.7 Jordan——画图容易退化成「把公式再抄一遍」。
少量可补的几何图：2.6 秩的像空间视角、9.5 稳态分布柱状图；其余高性价比的几何/数值图已在三轮里收口。

所以下一阶段的目标不是继续堆 SVG，而是补结构图（Mermaid）与表格；第 3 类只在能一图说清一个判断时才画。

7. 后续收尾

MoE 路由（11.10）：用 Mermaid 画 top-k 路由与容量因子，而不是 Matplotlib。
反向传播（11.12）：用 Mermaid 画计算图，突出链式法则的依赖方向。
稳态分布（9.5）：在现有 Mermaid 状态图旁补一张稳态柱状图。
秩的像空间视角（2.6）：复用矩阵映射图，标出「像空间维数 = 秩」。

暂不画：

八条公理（2.1）、矩阵四种身份（3.1）：表格与一句话对照更精确，画图会变成装饰。
行列式性质 / Cramer（5.2/5.3）、特征多项式 / Jordan（6.2/6.7）：代数推导本身就是主线，图只能重复符号。
MoE 路由（11.10）：路由概率与容量因子更适合表格 + 伪代码，画成饼图会掩盖 top-k 的离散性。
反向传播（11.12）：计算图用 Mermaid 更清楚，Matplotlib 画方框没有优势。
浮点位布局（10.1）：位宽用表格比色块更精确；本轮只画「间距随指数增长」这一条可验证的曲线。

8. 新增一张图的流程

在仓库根目录运行（避免写入用户级缓存）：

MPLCONFIGDIR=.mplconfig UV_CACHE_DIR=.uv-cache \
  uv run --with matplotlib --with numpy python figures/scripts/fig_rotation.py

然后在 figures/manifest.yaml 登记：

  - id: rotation
    file: rotation.svg
    concepts: ["0.1"]
    inline: true          # 正文内联，不自动插到页首
    caption: "……"
    alt: "……"

最后在概念页对应小节插入：

![替代文本](/figures/rotation.svg)

*图：图注，说明「怎么读」而不是重复定义。*

提交前跑 cd web && pnpm sync && pnpm build，确认 SVG 被复制到 web/public/figures/ 且正文链接被改写为 /figures/...。

9. 验收清单

图里每个数字都能由正文公式复算；
图注说清「看什么」，而不是「这是什么」；
图紧挨着被解释的那句话，不跨小节；
SVG 内无中文（避免字体缺失），中文只在 Markdown 图注；
manifest.yaml 有 caption 与 alt，内联图带 inline: true；
python3 scripts/check.py、check_links.py、check_refs.py 通过；
cd web && pnpm build && node scripts/check-render.mjs 通过。