叙事增强规范：让公式「有来处、有去处」

这份规范回答一个问题：同样一个概念，怎样写才不像干巴巴的公式清单？ 它不是替换 模板-概念文档.md，而是在十二个小节内部加一层「现实感」。

1. 要解决的问题

初学者读公式时，脑子里缺的不是符号解释，而是四样东西：

2. 四件套（每篇必做）

2.1 §0 现场：给数字、给角色、给代价

不要写「在机器学习中，向量很重要」。要写清楚：

• 谁：一个具体的系统、岗位或场景（推荐系统、相机防抖、数据库查询、电网调度……）；
• 多大：数据规模、维度、时间预算、显存、金额，至少两个具体数字；
• 冲突：两个方案取舍，或一个必须做的决定；
• 代价：算错/算慢会发生什么（用户流失、OOM、误差超标、多花多少钱）。

结尾用一句话把现场抽象成本节的数学问题，并列出「读完你能回答的三个问题」。

反例（不合格）：矩阵乘法在深度学习中应用广泛，是神经网络的基础。

正例：一层 Transformer 的前向里，一个 $4096\times 4096$ 的权重矩阵要对 $B\times T=32\times 2048$ 个 token 做投影。显存里这个矩阵占 64 MB（fp16），而每秒钟要过 50 次——它到底是「算得慢」还是「搬得慢」？

2.2 §1 身体感：一个现实对应 + 一条边界

给概念一个可以摸到的对应物：

• 力、功、能量、功率（物理）；
• 体积、流量、影子、压缩、投票、合唱、翻译（工程/生活）；
• 钱、时间、带宽、显存（成本）。

然后必须补一句「这个类比在哪里失效」。类比不标边界，就会变成新的误解来源。

量级直觉（推荐，非必需）：给出这个量在真实数据里的典型数量级。例如「128 维随机单位向量的点积标准差约 $1/\sqrt{128}\approx 0.09$」。写量级时标注「经验值」，不要伪装成定理。

2.3 §3 反事实：换一种定义，具体坏在哪

不要只说「这样定义有三个好处」。要真的换掉它，算一个反例：

如果把点积换成逐元素相乘后取最大，$\mathbf{x}=(1,1)$ 与 $\mathbf{y}=(1,-1)$ 的「相似度」会变成 1，与 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{x}$ 自己一样高——方向完全相反，却得到满分。

反事实要满足两条：能手算、结论荒谬得一眼能看出。

2.4 §5.3 场景闭环：从输入到代价

在手算例子之后，加一个完整闭环，至少包含：

1. 输入：规模、dtype、维度；
2. 计算：用本节公式算出关键中间量；
3. 输出：一个决策或一个排序；
4. 成本：时间、显存、带宽、误差，至少一个量化估计；
5. 失败：什么条件下这个方法会骗你，工程上怎么兜底。

这一步是把「数学正确」翻译成「工程可用」的桥。

3. 「物理意义」怎么写

不是每篇都有狭义物理意义。按概念类型选一种：

写完后自检：这个对应物有没有单位或量级？ 没有就说明还太虚。

4. 场景选择：一篇一个世界

• 同一模块内不要反复用「用户-商品」；不同篇尽量换领域：搜索、图像、语音、机器人、金融、生物、游戏、数据库、编译器、网络。
• 场景里的数字必须与公式自洽。写了 $12$ 万候选、$128$ 维，就要能算出 $3\times 10^7$ 次乘加。
• 不编造论文结论、benchmark 分数、公司内部数据。需要具体数字时，写成「按 $X$ 估算」并给出算式。
• 不写「某公司」「某模型」这种模糊指代；要么给可验证的公开事实，要么写成「以一类实现为例」。

5. 语言要求

1. 一段只讲一件事，段落不超过 5 行。
2. 每个公式后面跟一句「这个式子说的是……」，用人话读一遍。
3. 多用「你」和具体动词：你拿到、你算出、你发现、你付了多少钱。
4. 允许短句、破折号、设问；不允许「众所周知」「不言而喻」「显然」。
5. 不牺牲严谨性：直觉在前，定义与推导照旧，符号表与量纲要对得上。

6. 自检清单（提交前逐条打勾）

• §0 至少有 2 个具体数字、1 个决策、1 个代价；
• §1 有一个现实对应物，并写了类比失效的边界；
• §3 有一个可手算的反事实反例；
• §5 有手算例子 + 一个完整的场景闭环（输入/计算/输出/成本/失败）；
• 所有新数字都能用文中公式复算；
• 没有新增顶级小节，十二节顺序不变；
• 没有编造文献、benchmark 或公司数据；
• python3 scripts/check.py <模块目录> 通过。

7. 一个合格样本

见 01-向量与几何/03-点积.md：它的 §0 是一场真实规模的召回请求，§1 有功的物理图像，§3 有点积/欧氏/余弦的反事实对比，§5.3 有从 12 万候选到 200 个结果的完整成本核算。