M06 习题答案

对应 m06-习题。数值保留 3–4 位小数；计算题给出关键中间步骤。

A 概念题

1. 若存在非零 $\mathbf{v}$ 和标量 $\lambda$ 使 $A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$，则 $\lambda$ 是特征值、$\mathbf{v}$ 是对应特征向量。要求 $\mathbf{v}\ne 0$，是因为零向量对任意 $\lambda$ 都满足等式，无法区分不同的特征值，也没有「方向」可言。$\lambda =0$ 意味着 $A\mathbf{v}=0$ 有非零解，即 $A$ 奇异、不可逆；反之 $A$ 可逆时所有特征值非零。

2. 代数重数是 $\lambda$ 作为特征多项式根的重数；几何重数是特征空间 $\mathrm{null}(A-\lambda I)$ 的维数。几何重数等于「能凑出的线性无关特征向量个数」。取 $g$ 个特征向量扩充成基，矩阵在这组基下是分块上三角，对角线上出现 $g$ 个 $\lambda$，所以 $(\lambda -{\lambda }_0{)}^g$ 整除特征多项式，故 $a\ge g$。严格大于的例子：$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$，$p_A=(\lambda -1{)}^2$ 给出 $a=2$；$A-I$ 秩为 1，$g=2-1=1$。

3. 互异特征值是充分条件：$n$ 个不同特征值给出 $n$ 个线性无关特征向量，构成基，故可对角化。它不是必要条件：重特征值只要几何重数等于代数重数，仍可对角化。例如 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right]=2I$，特征值 2 的代数重数是 2，但整个平面都是特征空间，$g=2$，已经是对角阵。反例是 $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$，$a=2$、$g=1$，不可对角化。

4. 谱定理：实对称 $A$ 存在正交矩阵 $Q$ 和实对角 $\Lambda$，使 $A=Q\Lambda Q^{\top }$；$Q$ 的列是标准正交特征向量，$\Lambda$ 的对角元是实特征值。正定的三条等价判据：(a) 所有特征值 $>0$；(b) 所有顺序主子式 ${\Delta }_k>0$；(c) 存在对角元为正的下三角 $L$ 使 $A=L{L}^{\top }$（Cholesky）。

B 计算题

1. $\mathrm{tr}(A)=7$、$\det (A)=10$，$p_A(\lambda )={\lambda }^2-7\lambda +10=(\lambda -5)(\lambda -2)$。$\lambda =5$：$A-5I=\left[\begin{array}{cc}-1& 1\\ 2& -2\end{array}\right]$，取 ${\mathbf{v}}_1=(1,1)$；$\lambda =2$：$A-2I=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 2& 1\end{array}\right]$，取 ${\mathbf{v}}_2=(1,-2)$。 $P=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$，$D=\mathrm{diag}(5,2)$，$P^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\end{array}\right]$。 $A^3=P{D}^3{P}^{-1}=P\mathrm{diag}(125,8)P^{-1}=\left[\begin{array}{cc}86& 39\\ 78& 47\end{array}\right]$。可直接验算 $A^2=\left[\begin{array}{cc}18& 7\\ 14& 11\end{array}\right]$，再乘 $A$ 得同样结果。

2. 上三角矩阵的行列式等于对角元之积，故 $p_B(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -3)(\lambda -6)={\lambda }^3-11{\lambda }^2+36\lambda -36$。特征值 $2,3,6$；$\mathrm{tr}(B)=11$、$\det (B)=36$，与系数一致。三个特征值互异，特征向量自动线性无关，故可对角化。特征向量：$\lambda =2$ 时 $(4,-4,1)$，$\lambda =3$ 时 $(0,3,-5)$，$\lambda =6$ 时 $(0,0,1)$。

3. ${\mathbf{x}}_0=(1,0)$，$A{\mathbf{x}}_0=(3,1)$，Rayleigh 商 ${\lambda }^{(0)}=(1,0{)}^{\top }(3,1)/1=3$。归一化 ${\mathbf{x}}_1=(3,1)/\sqrt{10}$。$A{\mathbf{x}}_1=(10,6)/\sqrt{10}$，${\lambda }^{(1)}=(3,1{)}^{\top }(10,6)/10=36/10=3.6$。${\mathbf{x}}_2=(10,6)/\sqrt{136}$，$A{\mathbf{x}}_2=(36,28)/\sqrt{136}$，${\lambda }^{(2)}=(10\cdot 36+6\cdot 28)/136=528/136\approx 3.882$。 真实特征值是 $4$ 和 $2$，主特征值 $4$。误差 $4-{\lambda }^{(k)}$ 约为 $1,0.4,0.118$，长期按 $({\lambda }_2/{\lambda }_1{)}^2=(1/2{)}^2=1/4$ 下降（Rayleigh 商比向量快一倍）。

4. $\mathrm{tr}=1$、$\det =-6$，$p_A={\lambda }^2-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2)$。$\lambda =3$：$A-3I=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& -4\end{array}\right]$，取 $(2,1)$；$\lambda =-2$：$A+2I=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right]$，取 $(1,-2)$。单位化后 $Q=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -2\end{array}\right]$，$\Lambda =\mathrm{diag}(3,-2)$。 $Q^{\top }Q=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right]=I$；$Q^{\top }AQ=\frac{1}{5}\left[\begin{array}{cc}15& 0\\ 0& -10\end{array}\right]=\Lambda$。

5. Sylvester：${\Delta }_1=2>0$，${\Delta }_2=4-1=3>0$，故正定。特征值：$\mathrm{tr}=4$、$\det =3$，$p_A={\lambda }^2-4\lambda +3=(\lambda -3)(\lambda -1)$，都大于 0。 Cholesky：$l_{11}=\sqrt{2}$，$l_{21}=a_{21}/l_{11}=-1/\sqrt{2}$，$l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{3/2}$。所以 $L=\left[\begin{array}{cc}\sqrt{2}& 0\\ -1/\sqrt{2}& \sqrt{3/2}\end{array}\right]$，验证 $L{L}^{\top }=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$。

C 大模型题

1. 主模式每步乘 $1.05$，50 步后约 $1.05^{50}\approx 11.47$ 倍；谱半径 $0.95$ 时 $0.95^{50}\approx 0.0769$，衰减到约 $7.7\%$。若主特征值是复数 $\lambda =r{e}^{i\theta }$，幅度按 $r^t$ 变化，同时每步旋转 $\theta$：表现为振荡式的增长或衰减，而不是单调变化；若 $r=1$，则是纯周期运动。

2. 条件数 $\kappa ={\lambda }_{\max }/{\lambda }_{\min }=200/2=100$。梯度下降稳定步长上限约 $2/{\lambda }_{\max }=0.01$。最慢方向每步缩小 $1-1/\kappa =0.99$ 倍；要把误差降到 $1\%$，需 $0.99^k\le 0.01$，$k\ge \log (0.01)/\log (0.99)\approx 458$ 步（若只要求降到 $1/e$，约 100 步）。这说明条件数大时，最慢方向主导总耗时。

3. 列随机矩阵 $P=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 1/2& 0& 0\\ 1/2& 1& 0\end{array}\right]$，$G=0.85P+0.0511^{\top }$。平稳方程 $\mathbf{\pi }=G\mathbf{\pi }$ 等价于 $a=0.05+0.85c$、$b=0.05+0.425a$、$c=0.05+0.425a+0.85b$。 代入得 $c=0.0925+0.78625a$，$a=0.128625+0.6683125a$，故 $a\approx 0.3878$、$b\approx 0.2148$、$c\approx 0.3974$，和为 1。网页 3 排名最高（被 1 和 2 同时链接），网页 2 最低。 $d$ 控制沿链接走的概率，$1-d$ 是随机跳转；$d$ 越大越忠实链接结构，但 $G$ 的副特征值模越接近 $d$，收敛越慢。本例 $P$ 的副特征值为 $-0.5\pm 0.5i$，模 $0.7071$，$G$ 的收敛比约 $0.85\times 0.7071=0.60$。

D 开放题

1. 扰动：Jordan 形不连续。$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ 扰动为 $\left[\begin{array}{cc}1& \epsilon \\ 0& 1\end{array}\right]$ 后，特征值仍是 1，但特征向量在 $\epsilon \to 0$ 时趋于平行，$P$ 的条件数趋于无穷；浮点误差会把一个大 Jordan 块拆成多个小块，结果依赖舍入。 条件数：计算 $f(A)=Pf(J)P^{-1}$ 时，$P$ 的病态会把 $P^{-1}$ 的误差放大 $\kappa (P)$ 倍，$f(J)$ 中的导数项也可能很大。 算法：Schur 分解 $A=QT{Q}^{\top }$ 只用正交变换（$\kappa (Q)=1$），$T$ 上三角、对角元是特征值；对 $T$ 计算矩阵函数有成熟的递推/帕德算法。因此 scipy.linalg.expm 等库走 Schur–Padé 路线，而不是 Jordan 形。

2. Hessian 的特征值给出各主方向的曲率：正特征值是向上弯，负特征值是向下弯，接近零说明该方向几乎平坦。非凸损失中，驻点可能是局部极小、鞍点或平台；负特征值方向是「可下降方向」。诊断实验可以这样做：先取该特征向量 $\mathbf{v}$（用 eigsh 求最小特征值），沿 $\pm \mathbf{v}$ 做小步长线搜索，观察 loss 是否显著下降；再用不同随机种子/不同 batch 重算该特征值，看符号与量级是否稳定。若 loss 沿 $-\mathbf{v}$ 稳定下降且特征值在多个检查点上持续为负，就可确认它是有意义的逃逸方向，而不是数值噪声。