M06 习题：特征值

对应模块：M06 特征值 先独立完成，再对 答案。计算题保留中间步骤，数值保留 3–4 位小数。

A 概念题

1. 写出特征值与特征向量的定义，并解释：为什么要求 $\mathbf{v}\ne 0$？$\lambda =0$ 对矩阵的可逆性意味着什么？
2. 解释代数重数与几何重数的区别，说明为什么总有「代数重数 ≥ 几何重数」，并举一个严格大于的例子。
3. 「$A$ 有 $n$ 个互不相同的特征值」与「$A$ 可对角化」是什么关系？重特征值一定不可对角化吗？举例说明。
4. 叙述实对称矩阵的谱定理，并列出正定矩阵的三条等价判据（特征值、顺序主子式、Cholesky）。

B 计算题

1. 对 $A=\left[\begin{array}{cc}4& 1\\ 2& 3\end{array}\right]$：求特征值与特征向量；写出 $A=PD{P}^{-1}$；用对角化计算 $A^3$。
2. 对 $B=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 1& 3& 0\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$：求特征多项式、特征值与迹/行列式；判断是否可对角化，并写出三个特征向量。
3. 对 $A=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right]$，从 ${\mathbf{x}}_0=(1,0)$ 出发做两步幂迭代，计算每步的 Rayleigh 商；真实主特征值是多少？误差大约按什么比例下降？
4. 对 $A=\left[\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& -1\end{array}\right]$ 做正交对角化：求 $Q$、$\Lambda$，验证 $Q^{\top }Q=I$ 与 $Q^{\top }AQ=\Lambda$。
5. 判断 $A=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$ 是否正定：用 Sylvester 判据与特征值两种方式；再求它的 Cholesky 分解 $L$。

C 大模型题

1. 设某线性循环层的状态转移矩阵谱半径为 $1.05$。走 50 步后，主模式的幅度大约放大多少倍？若谱半径为 $0.95$ 呢？若主特征值是复数，观察到的现象会有什么不同？
2. 某二次损失的 Hessian 特征值为 $200$ 和 $2$。求条件数、梯度下降的稳定步长上限，以及最慢方向每步缩小的比例；要把该方向的误差降到 $1\%$，大约需要多少步？
3. 三个网页的链接为：1 链到 2、3；2 链到 3；3 链到 1。取阻尼因子 $d=0.85$，写出 PageRank 的平稳方程并求解（保留 4 位小数）；说明 $d$ 的作用与收敛比。

D 开放题

1. 既然任意矩阵都有 Jordan 标准形，为什么数值软件用 Schur 分解而不是 Jordan 形来计算矩阵函数？请从扰动、条件数、算法三个角度说明。
2. 深度学习的损失函数通常非凸。Hessian 的特征值能告诉我们哪些信息？如果发现某个方向有显著负特征值，你会如何设计一个诊断实验来确认它是「可逃逸的鞍点」而不是数值噪声？