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M03 习题：矩阵与线性映射

对应模块：M03 矩阵与线性映射先独立完成，再对答案。计算题保留中间步骤，不要只写结果。

A 概念题

取 $W = 102121010311$ 。分别用「数据表」「线性映射」「算子」「列向量组」解释它；哪个身份不成立？为什么？
同一个 $A x$ ，列组合与行点积的求和项完全相同，只是分组不同。请写出两种分组，并说明为什么「列组合适合人想、行点积适合机器算」。
如果矩阵乘法定义成逐元素乘，复合映射 $A (B x)$ 还能用一个矩阵表示吗？请用 $2 \times 2$ 的具体例子说明会失去什么。
写出方阵可逆的四个等价条件，并解释：为什么 $m > n$ 的长方阵可能有左逆，却不可能有两边逆？
为什么 $dim Col (A) + dim Null (A) = n$ 而不是 $m$ ？行变换保持行空间与零空间，为什么不保持列空间？求列空间基时应该用原矩阵还是 RREF 的列？

$A = [1231]$ ， $x = (1, - 1)^{⊤}$ 。 (a) 用列组合和行点积分别求 $A x$ ； (b) 求 $A^{2}$ 与 $A^{⊤} A$ ； (c) 验证 $A (A x) = (A^{2}) x$ 。
$A = [211301]$ ， $B = 110201$ 。 (a) 用行乘列求 $A B$ ； (b) 用列组合、行组合、外积和分别验证； (c) 写出这次乘法的 FLOPs。
$A = [2132]$ 。 (a) 求 $det (A)$ 与 $A^{- 1}$ ； (b) 解 $A x = (1, 0)^{⊤}$ ； (c) 判断 $S = [3162]$ 是否可逆，并找它的一个非零零空间向量。
对 $A = 248137139$ ： (a) 做 LU 分解，写出 $L$ 、 $U$ ； (b) 用 $U$ 的对角线求 $det (A)$ ； (c) 解 $A x = (4, 10, 24)^{⊤}$ ，写出前代与回代。
$A = 121242132$ 。 (a) 求 $rank (A)$ 与 RREF； (b) 写出四个子空间的基与维数； (c) 验证行空间 ⊥ 零空间、列空间 ⊥ 左零空间，以及两个维数公式； (d) 判断 $b = (2, 5, 3)^{⊤}$ 与 $b^{'} = (1, 0, 0)^{⊤}$ 是否在列空间里。

一个线性层 $W \in R^{11008 \times 4096}$ ，输入 batch 为 $B = 8$ 、 $T = 512$ 、 $D = 4096$ 。 (a) 参数量是多少？ (b) 前向 FLOPs 约是多少？ (c) 输出张量的形状与 fp16 显存占用是多少？
注意力中 $Q, K \in R^{B \times H \times T \times d_{k}}$ ， $B = 4$ 、 $H = 8$ 、 $T = 128$ 、 $d_{k} = 64$ 。 (a) 写出 $Q K^{⊤}$ 的完整形状与元素个数； (b) fp16 下分数矩阵占多少显存？ (c) 计算 $Q K^{⊤}$ 的 FLOPs； (d) 这个分数矩阵的秩最多是多少？为什么？
LoRA 用 $Δ W = B A$ 近似全量更新 $W \in R^{4096 \times 4096}$ ，取 $r = 8$ ， $B \in R^{4096 \times 8}$ 、 $A \in R^{8 \times 4096}$ 。 (a) 全量与 LoRA 的参数量各是多少？比例多少？ (b) 前向时 LoRA 分支比全量矩阵乘省多少 FLOPs？ (c) 推理时如何把 LoRA 合并回 $W$ ？合并后秩是多少？

计算题的数值答案见 m03-答案；开放题没有唯一答案，答案给出评分要点。